精选高二数学12月阶段性测试试题文

2024学年第一学期金华市卓越联盟12月阶段性联考高二年级数学学科参考答案一、单选题二、多选题三、填空题12. 030四、解答题15.解析：（1）圆C :22(1)(2)5x y m -+-=-圆心C (1,2), 半径r =..2分 其中C 到轴的距离2d =由已知得= 4m ∴=-……………..5分 （2）设直线:50,1l l x y k ++==-四边形PACD 的面积3PACD S PA r PA =⋅==…………8分 当取PC 最小值时，四边形四边形PACD 面积最小 此时直线PC l ⊥PC ∴==10分所以四边形四边形PACD 面积最小值为3PACD S PA r PA =⋅===…………13分16.解析：设数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则2123112626a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩得123a q =⎧⎨=⎩或11813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去） 123n n a -∴=…………..3分由已知得1122T b = 22(1)1n nT n n b ∴=+-=+………5分 2(1)n n T n b ∴=+………..① 1-12(2)n n T nb n -=≥……..② ①-②得1(1)n n nb n b -=- 即11n n b b n n -=- 所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，111n n b b b n n ==∴=……….8分1012122323436323n n n n C n K n --=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（）…………①123323436323n n K n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅…………②………….10分 ①-②得012122323232323n n nK n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅132231(21)313nn n n n -=⋅-⋅=---⋅-………….14分11()322nn K n ∴=+-⋅……………15分17.解析(1) 连接OB,OD.则OB ⊥AC,OD ⊥AC.zxyy zxxz yyxz∵平面ABC ⊥平面ACD,平面ABC ∩平面ACD =AC,OD ⊂平面ACD ∴OD ⊥平面ABC .......................2分 如图建系 (图1)，设正方形边长为2，则A(√2,0,0),D(0,0,√2),E(√22,0,√22),F(−√22,√22,0) ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,0,√22),OF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0) ..........................4分 设直线OE 与OF 所成角为θ∴cos θ=|cos 〈OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|−121×1|=12 ∴θ=π3∴直线OE 与OF 所成角为π3 ....................7 分 (2) 连接OB,OD 则OB ⊥AC,OD ⊥AC.∴∠DOB 为二面角B −AC −D 的平面角.∴∠DOB =600 ........................................9分 过O 作OZ ⊥OB ,如图所示建系（图2），设正方形边长为2√2 B(0,2,0),D(0,1,√3),A(2,0,0),E(1,12,√32),F(−1,1,0) ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3) ..................................11分 OE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,√32),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0) 设平面OEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)则{OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0,即{x +12y +√32z =0−x +y =0, ∴{y =x z =−√3x令x =1,则n ⃗ =(1,1,−√3) ..............................13分设直线BD 与平面OEF 所成角为φ∴sin φ=|cos 〈BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|2√5|=2√55直线BD 与平面OEF 所成角为2√55............................15分18.解析：（1）由题：1211242PQ QF QF QF F F +=+=>= 则点Q 的轨迹是以12F F ，为焦点，4为长轴的椭圆。

湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S =（）A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯，进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =，∴()4412a a d =+，解得：4a d =，52a d =．∴4132a a d d =-=-，∴14a a d +=-．∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯．故选：D ．3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为（）A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =，由椭圆的定义得到122PF PF a +=，结合12PF PF a -=，求得123,22aPF PF a ==，然后在12PF F △中，由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =，P 是C 上一点，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，又12PF PF a -=，所以123,22aPF PF a ==，又121sin 3PF F ∠=，则12cos 3PF F ∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2440a a -+=，解得2a =，则2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选：D4.已知O 为坐标原点，F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P，线段PF 上存在不同的两点A，B 满足FA BP =，且OA OB =，则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F '，连接PF '，取AB 的中点M ，可得M 为FP 的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'F ，取AB 的中点M ，由|FA |＝|BP |，可得M 为FP 的中点，|OA |＝|OB |，可得OM ⊥AB ，由∠PFO ＝30°，可得'2PF OM c ＝＝，即有230PF ccos ︒=＝，﹣c ＝2a ，即有ec a ===1，故选D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．5.对于集合,A B ，定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉．若{|21,N}A x x k k ==+∈，{|31,N}B x x k k ==+∈，将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ，则730a a +=（）A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项，找出集合A B -中元素的特征，进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ，所以{}3,5,9,11,15,A B -= ，所以721a =．A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以3089a =．则730110a a +=，故选：C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为2)y x =-，由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列{}n a 满足：22ππcos sin 33n n n a =-，记()31n n b n a =-，n *∈N ，则数列{}n b 的前60项和是（）A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ，()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，又12π1cos32a ==-，24π1cos 32a ==-，3cos 2π1a ==，{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选：C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1263a a S +=，则（）A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=，用基本量表示得160a d +=，然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯，化简整理得160a d +=，所以70a =，选项A 正确；261266a a a d d +=+=-，817a a d d =+=，由于0d ≠，所以268a a a +≠，故选项B 不正确；113137131302a S a a +=⨯==，故选项C 正确；1666212a a S d +=⨯=-，1888202a aS d +=⨯=，由于0d ≠，所以68S S ≠，故D 不正确.故选：AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-（R k ∈），则下列说法正确的是（）A.当06k <<时，曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数，使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ；根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围，再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上，由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ；根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围，再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，当3k =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故选项A 不正确；对于B ，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则060k k <⎧⎨->⎩，可得0k <，若0k <，则060k k <⎧⎨->⎩，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B 正确；对于C ，假设存在实数k ，使得曲线C的离心率为2，曲线C 表示椭圆，则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，可得：(0,3)(3,6)k ∈⋃，若椭圆焦点在x 轴上，由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩，可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，可得4k =符合题意，若椭圆焦点在y 轴上，由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩，可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭，可得2k =符合题意，所以存在2k =或4，使得曲线C的离心率为2，故选项C 正确；对于D ，假设存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有(6)0k k ⋅-<，得0k <或6k >，当0k <时，6k k -=-，无解；当6k >时，(6)k k =--，无解，所以满足题意的实数k 不存在，故选项D 不正确．故选：BC.11.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A.若100S =，则50a >，60a <；B.若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C.若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D.若89S S <，则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A .对于任意直线m ，均有AE ⊥PFB.不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用Δ0=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ，由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(3,A ，又(1,0)D -，可得233312DA k ==+，31213DB k==+，故存在直线m ，满足2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=，所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得212242k x x k-+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=，又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，根据42S =，7893a a a ++=，可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()13111n n a a n d +=+-=，518411a a d =+=，故答案为：811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==，所以2c '==，即椭圆的焦点为(20)±,，所以12c e a ''=='，由题意知双曲线的离心率12c e a e ===='，所以223b a=，故双曲线的渐近线方程为y =，不妨取椭圆左焦点(2,0)-，则由点到直线距离可得232d ==，，15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若||3||,||3AF BF AC ==，则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB 的斜率，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，求得直线OB 的方程，即可求得C 点坐标，即可求得p 的值，求得抛物线方程．【详解】由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，AF BF =，因为3AF BF =，所以直线AB 的斜率存在，因为A 在x 轴上方，所以直线AB 的斜率大于0，设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0k >，与抛物线方程联立可得：()22222204k p k x k p p x -++=，()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，由抛物线定义可知：12,22p p AF x BF x =+=+，因为3AF BF =，所以123322p px x +=+，即123x x p =+，将123x x p =+代入1222p x x p k +=+，2124p x x =中，222p x k =，()22243p x x p =+，所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝，解得：23k =，因为0k >，所以k =则2123,362p x x x p p ==+=，12,3y y p ∴==-，所以36OB pk p -==-，所以直线OB方程为y =-，当2px =-时，C y =，1C y y ∴=，∴直线AC 与x 轴平行，3322p AC p ∴=+=，∴32p =，23y x ∴=.故答案为：23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥，写出满足题意的所有有序实数对(,)m n ：_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义，易得到1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，从而根据题意可得{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=，从而得到答案．【详解】由题意得1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而m n <时，存在两条曲线m C 、n C 有交点P ，必然有{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，设11||PF d =，22||PF d =，则由椭圆与双曲线的定义可得，12d d +=，12||d d -=，且12PF PF ⊥，12F F =，故221220d d +=，即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩，所以存在两条曲线m C 、n C ，且17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．故答案为：17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中，131a =，12n n a a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）332n a n =-，232n S n n=-（2）221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-，231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤，12n n T a a a =+++ ；当16n ≤时，2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ；当16n >时，()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得，221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3460x y +-=或2x =（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得．【小问1详解】∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为，故弦心距1d =1=，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =.由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1,0p r ==，求证：{}n a 是等差数列；（2）若11,23p a ==，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+.【解析】【分析】（1）把1,0p r ==代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.（2）把13p =代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系，再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时，n n S na =，当2n ≥时，()111n n S n a --=-，两式相减，得1(1)n n n a na n a -=--，整理得10n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时，1()3n n S n r a =+，令1n =，而12a =，得113r +=，解得23r =，于是12()33n n S n a =+，当2n ≥时，1111()33n n S n a --=+，两式相减，得111()312(333n n n a n n a a -+=-+，整理得1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a an n -=+-，因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-，数列{}(1)n a n n+是常数列，从而11(1)21n a a n n ==+⨯，2n a n n =+，显然12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．【答案】（1）e >62且e ；（2）a ＝1713.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB = 可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a-＝28960，从而得解.【详解】(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a －y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e＝a =，∴e>2且e.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)．∵512PA PB = ，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，51222x ＝－2221a a-.消去x 2，得－2221a a -＝28960.由a >0，得a ＝1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.21.如图，已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，点F '的轨迹为H.（1）求曲线H 的方程；（2）一条直线AB 经过点F ，且交曲线H 于A 、B 两点，点C 为直线1x =-上的动点.①求证：ACB ∠不可能是钝角；②是否存在这样的点C ，使得ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②存在，且(1,C -±.【解析】【分析】（1）设(),F x y '，则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的直径为FF '=，利用动圆M 与y轴相切，即可求得曲线C 的方程；（2）①设直线AB 的方程为1x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立直线AB 的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到0CA CB ⋅≥恒成立，可得结论；②由①知()221,2N m m +，根据CN 与AB 垂直，斜率积为1-，可得324n m m =+，再由CN =，求出m 值.【小问1详解】设(),F x y '，因为点()1,0F 在圆M 上，且点F '关于圆心M 的对称点为F ，则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，则11122FF x '=+，1x =+，化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ，同理可得()222,CB my y n =+- ，所以，()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥，故ACB ∠不可能为钝角；②假设存在这样的点C 满足条件，因为()21212242x x m y y m +=++=+，则线段AB 的中点为()221,2N m m +，若0m =，则AB x ⊥轴，此时，直线AB 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，则AB 4=，此时，NC 位于x 轴上，则122NC AB ==，所以，ABC 为直角三角形，不合乎题意，所以，0m ≠，则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+，可得324n m m =+，则()31,24C m m -+，则(221CN m =+，而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，由CN =，可得(())2223214112m m m +=+=+，解得m =，所以，存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ⊥，C 为PQ 的中点，线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（ⅰ）求证：A 为BC 的中点；（ⅱ）若35ABO BCF S S =△△（S 为三角形的面积），求直线PQ 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3y x =-+．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得1c =，再由e 的值，求a ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，与椭圆方程联立，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得出12,x x 的坐标关系，求出点C 坐标，得到PQ 垂直平分线AB 方程，求出点,A B 坐标，即可证明结论；（ⅱ）由35ABO BCF S S =△△结合（ⅰ）的结论，求出点A 的坐标，再由PF QF ⊥，得到,m k 关系，代入A 点坐标，求出,m k 的值即可．【详解】（Ⅰ） 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，1c ∴=，又离心率,12c e a b a ==∴==，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=，222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++，设PQ 中点00(,)C x y ，则12022221x x km x k +==-+，00221m y kx m k =+=+，即C 点坐标为222(,2121km m k k -++），线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++，令0y =，得2(,0)21km A k -+，令0x =，得2(0,21m B k -+，,22B c B c A A x x y y x y ++== ，A ∴为BC 中点；（ⅱ）由（ⅰ）得A 为BC 中点，()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-，1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+，整理得23140m km -+=，即2134m k m -=，又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ，整理得4261730m m --=，解得23m =或216m =-（舍去），0,3m m k >∴==- ，此时0∆>，∴直线PQ 方程为3y x =-+。

卜人入州八九几市潮王学校仁寿县第二二零二零—二零二壹高二数学上学期12月月考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题〕一．选择题〔一共12小题，每一小题5分〕20x y +=与210x ay ++=平行，那么a =〔〕A.4B.－4C.2D.－2【答案】A 【解析】 【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩，由此列式求解a 值．【详解】∵直线20x y +=与210x ay ++=平行，∴122011200a ⨯-⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即4a =．此时两直线不重合．应选A ．【点睛】此题考察直线的一般式方程与直线平行的关系，两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩，是根底题．(2,1,4),(4,1,2)A B --,那么AB 长为()B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的间隔公式，准确计算，即可求解，得到答案． 【详解】由空间中的间隔公式，可得222(42)(11)(24)211AB ，应选C ．【点睛】此题主要考察了空间中的间隔公式，其中解答中熟记空间中的间隔公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．221169x y +=与曲线22(0)169x y k k +=>的〔〕 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等【答案】D 【解析】 【分析】首先将后面的曲线化简为HY 形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【详解】首先化简22(0)169x y k k +=>为HY 方程221169x y k k +=，()0k >，由方程形式可知，曲线221169x y +=的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率4c e a ==，221169x y k k +=，()0k >的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率4c e a ==，所以离心率相等. 应选D.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质，属于根底题型.220x y +=，那么0x =且0y =〕A.假设220x y +≠，那么0x ≠且0y ≠B.假设220x y +≠，那么0x ≠或者0y ≠C.假设0x ≠且0y ≠，那么220x y +≠D.假设0x ≠或者0y ≠，那么220x y +≠【答案】D 【解析】 【分析】0x =且0y =〞的否认为“0x ≠或者0y ≠〞.220x y +=，那么0x =且0y =0x ≠或者0y ≠，那么220x y +≠〞，应选D.p q ∧〞与“p q ⌝⌝∨〞互为否认，考察推理才能，属于根底题.16(0)y x x x=++>的最小值为( ) A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】 【分析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】16(0)68y x x x =++>≥=，1x =时等号成立. 故答案选C【点睛】此题考察了均值不等式，属于简单题.{}n a 的前n 项和为n S ，假设公差3d =，68a =，那么10S 的值是()A.65B.62C.59D.56【答案】A 【解析】先求出5a ，再利用等差数列的性质和求和公式可求10S . 【详解】565a a d =-=，所以()()1101056105652a a S a a +==+=，应选A.【点睛】一般地，假设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，那么有性质：〔1〕假设,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，那么m n p q a a a a +=+；〔2〕()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==且()2121n n S n a -=-；〔3〕2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； 〔4〕232,,,n n n n n S S S S S --为等差数列.1:370l x y +-=与直线2:10l x y -+=的交点为P ,那么P 到直线:20l x ay a ++-=的间隔最大值为()B.4C.【答案】A 【解析】 【分析】先求出P 的坐标，再求出直线l 所过的定点Q ，那么所求间隔的最大值就是PQ 的长度.【详解】由37010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可以得到12x y =⎧⎨=⎩，故()1,2P ，直线l 的方程可整理为：()210x a y ++-=，故直线l 过定点()2,1-， 因为P 到直线l 的间隔d PQ ≤，当且仅当l PQ ⊥时等号成立，故max d ==【点睛】一般地，假设直线1111:=0l A x B y C ++和直线2222:0l A x B y C ++=相交，那么动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=〔R λ∈〕必过定点〔该定点为12,l l 的交点〕. 22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为〔〕A.22(1)(1)1x y -++= B.22(1)(1)1x y +++= C.22(1)(1)1x y -+-= D.22(1)(1)1x y ++-=【答案】A 【解析】 【分析】设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，列出方程组，求得圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆22:(2)(2)1C x y ++-=的圆心坐标(2,2)C -，设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，那么圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点，满足2112221022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得1,1a b ==-，即所求圆的圆心坐标为(1,1)C '-，且半径与圆C 相等， 所以所求圆的方程为22(1)(1)1x y -++=，应选A.【点睛】此题主要考察了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.ABC 中，1a =，b =30A ∠=，那么sin B 为〔〕A.2B.12C.3D.2【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B =即：1sin sin 30sin 2B B =⇒=︒ 答案选D【点睛】此题考察了正弦定理，意在考察学生的计算才能.:p 假设a b >，那么33a b >:q 假设0⋅=a b ，那么220a b +=〕A.p 且qB.p 或者qC.p ⌝或者qD.p ⌝且q ⌝【答案】B 【解析】 【分析】【详解】由a b >，得33a b >，∴p假设0a =，0b ≠，那么0⋅=a b ，此时220a b +≠q∴p 或者q应选：B.()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:100x y C m n m n -=>>，有一样的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线的一个公一共点，且1260F PF ∠=︒，假设椭圆1C 的离心率12e ，那么双曲线2C 的离心率2e ＝〔〕A.2B.2C.1D.3【解析】 【分析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值．【详解】设1PF s =，2PF t =，P 为在第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-，在12F PF ∆中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得：()222222222426022c s t stcos a m am a m am a m =+-=++++---，即有22234a m c +=，两边同时除以2c 得：222234a m c c +=， 即为2221314e e +=，由12e，可得2e =.应选：A.【点睛】此题主要考察圆锥曲线的综合，此类问题应该紧扣定义，结合余弦定理解决，属于常考题.12.F 为抛物线212y x =的焦点，过F 作两条夹角为045的直线12,l l ，1l 交抛物线于,A B 两点，2l 交抛物线于,C D 两点，那么11AB CD+的最大值为〔〕A.14+ B.122C.1D.2+【解析】设直线1l 的倾斜角为θ，那么2l 的倾斜角为+4πθ，由过焦点的弦长公式22sin pl θ=，可得212sin AB θ=，212sin 4CD πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以可得11AB CD+22222sin 2sin 2sin 12sin 1+244ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=++=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2+cos 2+cos 2+=2+2cos 2+224sin πθθθθ⎛⎫⎪⎝⎭2+4πθ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭11AB CD +的最大值为2+，应选D.第二卷〔非选择题〕二．填空题〔一共4小题，每一小题5分〕0x ∃∈R 2000,x x +>___．(用符号表示)【答案】∀x ∈R ，x 2+x ≤0． 【解析】 【分析】所以∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+1＞0的否认是：∀x ∈R ，x 2+x ≤0． 故答案为∀x ∈R ，x 2+x ≤0．,x y 满足10201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最大值为__________．【答案】52【解析】先根据约束条件画出可行域，再转化目的函数，把求目的函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可【详解】解：由约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，画出可行域如图：目的函数z ＝2x +y 可化为：y ＝﹣2x +z 得到一簇斜率为﹣2，截距为z 的平行线 要求z 的最大值，须满足截距最大 ∴当目的函数过点B 时截距最大又1020x y x y +-=⎧⎨--=⎩∴x ＝32，y ＝12-∴点B 的坐标为〔32，12-〕 ∴z 的最大值为：2×3122-＝52故答案为52．【点睛】此题考察线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目的函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目的函数与边界直线的倾斜程度．属简单题．1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，那么a b +=________.【答案】0 【解析】 【分析】将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为2π，计算得到答案. 【详解】如下列图：将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为2π 11a b =⎧⎨=-⎩或者101a a b b =-⎧⇒+=⎨=⎩ 故答案为0【点睛】此题考察了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为2π是解题的关键. C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点〔不在坐标轴上〕，Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，假设22QF OQ =，那么椭圆离心率的范围是___________． 【答案】1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a=，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线，∴1243223c PF PF c ==，那么122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．三．解答题〔一共6小题，第一题10分，其余各题12分〕17.平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,2A -，()3,4B -，()2,6C -()1求BC 边上的高所在直线的方程；()2求ABC 的面积．【答案】〔1〕330x y +-=；〔2〕3 【解析】 【分析】()1求出直线BC 的斜率，结合直线垂直的性质求出高线的斜率即可()2求出点到直线的间隔，以及底BC 的间隔，结合三角形的面积公式进展计算即可【详解】()1由题意，直线BC 的斜率()64k 223-==---，那么BC 边上高的斜率1k 2=-，那么过A 的高的直线方程为()1y 2x 12-=-+，即x 2y 30.+-=， ()2BC 的方程为()y 42x 3-=+，2x y 100∴-+=．点A 到直线2x y 100-+=的间隔d 5===，BC ===那么三角形的面积11S BC d 3225===． 【点睛】此题主要考察了三角形高线的计算，以及三角形的面积的求解，其中解答中结合间隔公式以及直线垂直的斜率关系是解决此题的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．18.〔1〕设集合{}2540A x x x =-+<，集合{}25B x x =<≤，求AB ；:p x R ∃∈，2430x mx m +≤--p ⌝m 的取值范围．【答案】〔1〕{}24A B x x ⋂<<＝；〔2〕314m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.【解析】 【分析】〔1〕根据一元二次不等式求出集合A ，然后再求AB 即可；【详解】〔1〕2540x x -+<，解得14x <<，故集合{}14A x x =<<，集合{}25B x x =<≤，∴{}24A B x x ⋂<<＝；〔2〕p ⌝：R x ∀∈，2430x mx m -+->，要使p ⌝为真，那么有()()22443164120m m m m ∆=---=+<-，解之得：314m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．19.如图，在三棱锥A BCD -中，点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，AB AD =，AE BC ⊥．求证：⑴//EF 平面ACD ； ⑵AE CD ⊥．【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】〔1〕由中位线定理即可说明//EF CD ，由此证明//EF 平面ACD ； 〔2〕首先证明AE ⊥平面BCD ，由线面垂直的性质即可证明AE CD ⊥ 【详解】证明：⑴因为在BCD ∆中，点E ，F 分别是BD ，BC 的中点 所以//EF CD又因EF ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD 从而//EF 平面ACD⑵因为点E 是BD 的中点，且AB AD =所以AE BD ⊥又因AE BC ⊥,BC ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCDBC BD B =,故AE ⊥平面BCD因为CD ⊂平面BCD 所以AE ⊥CD【点睛】此题考察线面平行、线面垂直的断定以及线面垂直的性质，属于根底题．3m ，五合板6002m 3m ，五合板22m 2m ，五合板12m ，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.〔1〕假设只安排消费书桌，可获利润多少？ 〔2〕怎样安排消费可使所得利润最大？【答案】(1)只安排消费书桌，最多可消费300张书桌，获得利润24000元；(2)消费书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大 【解析】 【分析】〔1〕设只消费书桌x 个，可获得利润z 元，那么0.1902600,80x x x N x z ≤⎧⎪≤=⎨⎪⎩∈，由此可得z 最大值；〔2〕设消费书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元．那么0.10.29026000,0,x y x y x x N y y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩，80120z x y =+，由线性规划知识可求得z 的最大值．即作可行域，作直线801200x y +=，平移此直线得最优解． 【详解】由题意可画表格如下：(1)设只消费书桌x 个，可获得利润z 元，那么0.1902600,80x x x Nx z ≤⎧⎪≤=⎨⎪⎩∈，∴900300x x ≤⎧⎨≤⎩∴300x所以当x 300=时，zmax 8030024000=⨯=(元)，即假设只安排消费书桌，最多可消费300张书桌，获得利润24000元(2)设消费书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元．那么0.10.29026000,0,x y x y x x N y y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩，∴2900,2600,0,0,.x y x y x x N y y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩80120z x y =+在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线:80x 120y 0l +=，即直线:2x 3y 0l +=．把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ， 此时80120z x y =+获得最大值由29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得点M 的坐标为(100,400). ∴当x 100=，y 400=时，zmax 8010012040056000=⨯+⨯=(元)． 因此，消费书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大所以当x 100=，y 400=时，max 8010012040056000z =⨯+⨯=． 因此，消费书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．【点睛】此题考察简单的线性规划的实际应用，解题时需根据条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目的函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．xOy中，过点3(2A 的圆的圆心C 在x 轴上，且与过原点倾斜角为30的直线l 相切.(1)求圆C 的HY 方程；(2)点P 在直线:2m y x =上，过点P 作圆C 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，求经过P 、M 、N 、C 四点的圆所过的定点的坐标.【答案】〔1〕()2221x y -+=〔2〕经过P 、M 、N 、C 四点的圆所过定点的坐标为()2,0、24(,)55【解析】 【分析】(1)先算出直线方程，根据相切和过点3(2A ，圆心C 在x 轴上联立方程解得答案. (2)取线段PC 的中点D ，经过P 、M 、N 、C 四点的圆是以线段PC 为直径的圆，设点P 的坐标为(),2t t ，那么点D 的坐标为2(,)2t t +，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.【详解】(1)由题意知，直线l的方程为y x =，整理为一般方程可得0x -= 由圆C 的圆心在x 轴上，可设圆C 的方程为()()2220x a y r r -+=>，由题意有2233()242a r a r ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a =，1r =，故圆C 的HY 方程为()2221x y -+=.(2)由圆的几何性质知，PM MC ⊥，PN NC ⊥，取线段PC 的中点D ，由直角三角形的性质可知PD DC DM DC ===，故经过P 、M 、N 、C 四点的圆是以线段PC 为直径的圆，设点P 的坐标为(),2t t ，那么点D 的坐标为2(,)2t t +有DC == 那么以PC 为直径的圆的方程为：()22225()124t x y t t t +-+-=-+，整理为()222220x y t x ty t +-+-+=可得()()222220x y x t x y +--+-=.令2220220x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或者2545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故经过P 、M 、N 、C 四点的圆所过定点的坐标为()2,0、24(,)55.【点睛】此题考察了圆的方程，切线问题，四点一共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考察学生的综合应用才能.xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2⎫⎪⎪⎭，． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设点()42P ，，点M 在x 轴上，过点M 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点． ①假设直线AB 的斜率为12-，且52AB =，求点M 的坐标；②设直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在定点M ，使得1232k k k +=恒成立？假设存在，求出M 点坐标；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕①()M ；②存在，()10M ，.【解析】 【分析】〔12⎫⎪⎪⎭，以及222a b c =+建立方程组，求出2a 和2b 的值即可；〔2〕①设出直线AB 的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和52AB =，得出m 的值即可；②假设1232k k k +=成立，设(),0M t ，分别讨论直线AB 的斜率是否为0的情形，联立直线与圆锥曲线的方程以及利用1232k k k +=，解出t 的值，求出M 点坐标即可. 【详解】〔1〕椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎭．∴222222112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=； 〔2〕设()11A x y ，，()22B x y ，， ①设直线AB 的方程为：2x y m =-+，由22214x y m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：228440y my m -+-=， ()22163240m m ∆=-->，故28m <，∴124m y y +=，21248m y y -=，∴5482AB ==⨯=，解得m =∴()M ；②()4,2P ，设(),0M t ，〔ⅰ〕当直线AB 的斜率为0时，()20A -，，()20B ，， 由1232k k k +=，可得222242424t+=⨯+--，解得1t =，即()10M ，； 〔ⅱ〕当直线AB 的斜率不为0时，设()11A x y ，，()22B x y ，， 设直线AB 的方程为x my t =+，由2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224240m y mty t +++-= ∴12224mt y y m -+=+，212244t y y m -=+．由1232k k k +=，可得12122222444y y x x t--+=⨯---， ()()()()1212221212242816448164my y t m y y t m y y mt m y y t t t+--+-+⇒=+-++-+-， ()()2222222242242416444424481644t mt m t m t m m t mt t m mt m t t m m--⋅+--⋅-+++⇒=---⋅+-⋅+-+++， 222228381644tm m t t t m tm -+-+⇒=-+-+， ()()2254220m t t m t ⇒--+-=， ∴当1t =时，上式恒成立.综上，存在定点()1,0M ，使得1232k k k +＝恒成立．【点睛】此题考察椭圆方程的求法，考察圆锥曲线的综合应用，考察逻辑思维才能和计算才能，属于高考常考题型.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1______年______月______日____________________部门一、单项选择（每题5分，共12题）1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）p q ∧p ⌝A ．或为假B ．假C ．真D ．不能判断的真假p q qq q2、命题“”的否定为（ ）0200(0,),2x x x ∃∈+∞<A ．B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．D ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥2(0,),2x x x ∃∈+∞≥3、命题“三角形ABC 中，若cosA<0，则三角形ABC 为钝角三角形”的逆否命题是（ ）A ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为钝角三角形，则cosA<0B ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA≥0 C ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA <OD ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角或直角三角形，则cosA≥O 4、设集合，，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）{}|20A x x =->{}2|20B x x x =->A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、 抛物线的焦点坐标是241x y =A ．（，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（1，0）1611616、以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是1322=-x yA ．B ．4)2(22=+-y x 2)2(22=-+y xC ．D ．2)2(22=+-y x 4)2(22=-+y x7、短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF2的周长为532=e A ．3 B ．6C ．12D ．248、已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）x y 2±=）（0,6),0,6(- A ． B ．18222=-y x 12822=-y xC ．D ．14222=-y x 12422=-y x9、已知P 为抛物线y2=4x 上一个动点，Q 为圆x2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝111、已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率（ ）2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F C ,A B ,AF BF 410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=C e = A ． B ． C ．D ．5754746512、已知方程和（其中且），则它们所表示的曲线可能是 （ ）221x y a b+=1x y a b +=0ab ≠a b ≠二、填空题（每题5分，共4题）13、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．2,20x R x x m ∃∈++≤m14、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C 的准线与E 的两个交点，则 ．15、 在平面直角坐标系中,已知△顶点，顶点在椭圆上，则＝ 。