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湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学 《圆的一般方程》

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1
高中数学必修2《圆的一般方程》导学案
姓名：___________ 班级：___________ 组别：_____________ 组名：____________
【学习目标】
1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；
3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．
【重点难点】
重点：掌握圆的一般方程
难点：难点是根据条件运用待定系数法建立圆的方程．
【知识链接】
1、圆的标准方程
2、直线与二元一次方程0(,AxByCAB不全为零)建立了一一对应的关系，那么圆是否也
有与之对应的方程呢?
【学习过程】

阅读课本第121页至122页的内容，尝试回答以下问题：
知识点：圆的一般方程
1.以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程： ．
2.将222()()xaybr展开得 .
3.形如220xyDxEyF的都表示圆吗？
将上方程配方，得 .
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
⑴. 当0422FED时， .
⑵. 当0422FED时， .
⑶. 当0422FED时， .
综上所述，方程220xyDxEyF表示的曲线不一定是圆,只有当 时，
它表示的曲线才是圆,我们把形如022FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程
思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？
结论：圆的一般方程的特点： 、 的系数相同，没有 这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定系数 、 、 ，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明
确了.
与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆
心坐标与半径大小，几何特征明显.
2

例2：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)ABC的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
例3：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆22(1)4xy上运动，求线段
AB
中点M的坐标(,)xy中,xy满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？
分析：线段AB的端点B静止，A在圆22(1)4xy上运动，因此我们可以设出A的坐标，
从而得到中点M的坐标．

例4：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB是36米，拱高OP是6米，在建造时，每隔
3米需用一个支柱支撑，求支柱22AP的长度（精确到0.01
米）．

分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的
直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．

【基础达标】
A1.方程0834222kykxyx表示圆的充要条件是（ ）

2
P
P
B
A
O

y

x
2
A
3

A.4k或1k B.41k C.4k或1k D.以上答案都不对
B2.下列方程各表示什么图形？

⑴. 2240xyx； ⑵. 224250xyxy；

⑶. 211xy
B3.已知△ABC的顶点的坐标为A（4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆的方程.

B4.求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120xyxy相同的圆的方程
C5.等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说
明它的轨迹是什么．

【小结】
4

【当堂检测】
A1.圆22680xyy的圆心为 ，半径为 .

A2.若圆221014xymxy与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 .

B3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．

【课后反思】
本节课我最大的收获是

我还存在的疑惑是

我对导学案的建议是

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圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册

圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册

10 + 3 − + = 0
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，
圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版选择性(1)

圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版选择性(1)

复习回顾
一、圆的标准方程 以 C(a ， b) 为 圆 心 ， r(r>0) 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
二、点与圆的位置关系：
位置关系 利用距离判断 点P在圆上 |PC|=r 点P在圆外 |PC|>r 点P在圆内 |PC|<r
利用方程判断
( x0 a)2 ( y0 b)2 r2
•
∴所求圆的圆心坐标为(2， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 2)2 ( y 3)2 25.
题型四 动点的轨迹方程
直接法:
M
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
M1
M2
（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. （2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
，
∴( x a)2 ( y b)2 r 2(cos2 sin2 ) r 2 .
∴点P的轨迹是圆心为(a, b), 半径为r的圆.
方程
x y
a b
r cos r sin
叫做圆( x
a)2
(
y
b)2
r 2的参数方程.
三、圆的参数方程
圆心为(a, b), 半径为r 的圆( x a )2 ( y b )2 r 2 的参数方程为：
题型四 动点的轨迹方程 跟踪训练5 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P， Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
变式1 在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 变式2 若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
圆的一般方程

圆的一般方程

4．1．2圆的一般方程主要概念：圆的一般方程――022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )。

轨迹方程-----是指点动点M 的坐标),(y x 满足的关系式。

一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。

二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。

编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

第一板块问题提出解读方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为1)2()1(22-=-+-y x ，由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。

第二板块探索研究解读方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。

(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2,2(E D --；(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

关于y x ,的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3)0422>-+AF E D 。

对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。

根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。

高中数学选择性必修一课件：2.4.2圆的一般方程

高中数学选择性必修一课件：2.4.2圆的一般方程

第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学习目标 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和 半径 2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一 般方程解决简单问题 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法
素养要求 数学抽象
数学运算 数学运算
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 素养点睛：考查数学运算的核心素养．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
2 0
＋y
2 0
＋Dx0＋
Ey0＋F>0. 【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
()
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【解析】(1)圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表 示点(1，－2)． (4)因为点M(x0，y0)在圆外，所以x0＋D2 2＋y0＋E22>D2＋E42－4F， 即x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F&
|素养达成|
课后提能训练
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上， 且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
解：圆心C－D2 ，－E2， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－D2 －E2－1＝0，即D＋E＝－2①. 又r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以D2＋E2＝20②.