2016-2017学年北京海淀北大附中高二下学期期末考试数学(理)试题 解析版

1．【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点所在象限在第二象限，选2．【答案】A【解析】削去参数得：，直线的斜率为，选A.3．【答案】A【解析】，令，则，的系数为，选A.6．【答案】C【解析】从大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，有种取法，所取出的两个球中恰有1个红球有种取法，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为，故选.7．【答案】D【解析】由于函数满足，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除B，当时，，，若时，，当时，，而，显然，从而可知，函数在上为增函数，选.8．【答案】B【解析】甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以拿到的排数必然不是乙能直接确定的的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于3号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号.9．【答案】【解析】.10．【答案】0【解析】.13．【答案】108【解析】若选粉色系列有种选法，若选黄色系列有种选法，佳佳可定制的混合花束一共有种.14．【答案】(1)．（0，5）(2)．(3)．【解析】本题自定义：，，（其中），已知若，，则=.又，且，，则，，不妨在内任取两组数和，为了满足，即，取和，此时恰好满足，则.15．【答案】(1) ；(2)详见解析.【解析】试题分析：利用导数的几何意义，对函数求导，求出函数在的导数值，借助点斜式求出切线方程；对函数求导，解出极值点，研究函数单调性，求出出极值.试题解析：（I），．则，则函数在点处的切线方程为，化简得．（II）令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．（II）根据列联表中的数据，利用公式可得的观测值．，有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关．17．【答案】(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．2 (14)．2 (15)．(16)．【解析】试题分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出，再用数学归纳法加以证明，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式.②假设（N*）时，猜想成立，即，那么，当时，由已知，得，又，两式相减并化简，得，（用含的代数式表示）．所以，当时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．思路2．先设的值为1，根据已知条件，计算出，由已知，写出与的关系式：，两式相减，得与的递推关系式：，整理：，发现：数列是首项为2，公比为2的等比数列．得出：数列的通项公式，进而得到．【点睛】本题给出了两种求数列通项公式的思维途径，一是构造法，直接利用转化思想解题，通过转化，把普通数列转化为特殊数列（等比数列），借助等比数列的通项公式解题，可以体会到数学的化归与转化思想在解题中的应用价值，二是不完全归纳法求数列的通项公式，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的思维方式，这种归纳思想在探索、研究各科学领域中广为应用.18．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】试题分析：王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用可能取值为2，4，6，求出出总交通费用X值对应得概率，列出概率分布列并求出数学期望；计算王老师6月22个工作日平均每天出行的费用，利用计算出，比较与，给出结论.试题解析：（I）依题意，X可能的取值是2，4，6，因此X的分布列为由此可知，X的数学期望为．（II）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，平均每天出行的费用（元）．又，则．有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．19．【答案】(1)详见解析；(2) .试题解析：（I），当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则．则在区间上单调递增，在区间上单调递减．（II）方法1：当时，因为，所以不会有，．②当时，由（I）知，在上的最大值为．所以，等价于．即．设，由（I）知在上单调递增．又，所以的解为．故，时，实数的取值范围是．方法2：，等价于.令，则．令，则．因为当，恒成立，所以在上单调递减．又，可得和在上的情况如下：所以在上的最大值为．因此，等价于．故，时，实数的取值范围是．20．【答案】(1)；(2)详见解析；(3)441.【解析】试题分析：本题为新定义信息题，根据知：，而，则；根据数学期望公式写出，由于，求出的表达式，根据方差公式写出并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数并求出的值.由的方差定义可知（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：．投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．所以．方法2：的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．则的分布列为．则．。

2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a＝log0.32，b＝0.32，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝i（i﹣a）（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）3．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ的对称中心是（）A．（1，）B．（1，﹣）C．（1，0）D．（1，π）4．（5分）若a＝xdx，b＝sin xdx，则a+b的值是（）A．﹣2B．0C．2D．35．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝x3B．y＝（e﹣x﹣e x）C．y＝lg D．y＝（）x6．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2] 7．（5分）图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为（）A．3n B．3×2n﹣1C．+3D．n2﹣n+38．（5分）某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（）A．90种B．150种C．180种D．240种9．（5分）某次期末考试，甲、乙、丙获得了班级前三名（无并列名次）．某同学曾做了三个猜测：“甲是第一名；乙不是第一名；丙不是第二名”．该同学只猜对了一个，则实际的结果是（）A．甲第一名，乙第二名，丙第三名B．甲第二名，乙第三名，丙第一名C．甲第三名，乙第二名，丙第一名D．甲第二名，乙第一名，丙第三名10．（5分）已知函数f（x）＝﹣（x﹣）（x﹣）（其中x∈（0，+∞）），g（x）＝lnx 和函数h（x）＝，若方程h（x）＝kx有四个不同的解，则实数k 的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）（2x+）6的展开式的常数项是．12．（5分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），点P为曲线C上的动点，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．13．（5分）甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是．14．（5分）若随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3），则实数a＝；数学期望Eξ＝．15．（5分）已知甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排法有种．（用数字作答）16．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．18．（14分）为了了解某批产品的质量，从该批产品中随机抽取24个产品分成三组进行检测评分，得分结果如表：已知所有得分均为整数，得分在[90，100）的为一等品，[80，90）的为二等品，79分及以下的为三等品．（I）从第一组中的8件产品任取3件，记一等品的个数为X，求随机变量X的分布列．（II）若a＝90，试问b为何值时，第三组产品质量得分的方差最小？（直接写出结果）（III）在（II）的结果下，以这24件产品的三等品的频率估计整批产品中三等品的概率．从该批产品（数量众多）中任取3件，记三等品的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log0.32＜log0.31＝0，0＜b＝0.32＜0.30＝1，c＝20.3＞20＝1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数z＝i（i﹣a）＝﹣1﹣ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，∴a＜0，故选：C．【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，高考常考题型．3．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2+y2﹣2y＝0，化为标准方程：x2+（y﹣1）2＝1，对称中心的直角坐标为（0，1），极坐标为（1，）．故选：A．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．4．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：a＝xdx＝x2＝[12﹣（﹣1）2]＝0，b＝sin xdx＝﹣cos x＝﹣cosπ+cos0＝2，则a+b＝0+2＝2．故选：C．【点评】本题考查了定积分的定义与计算问题，是基础题．5．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y＝x3，为幂函数，为奇函数，在其定义域上为增函数，不符合题意；对于B、y＝（e﹣x﹣e x），其定义为R，有f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）＝（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，其导数y′＝（﹣e﹣x﹣e x）＜0，则其在定义域为减函数，符合题意，对于C、y＝lg，有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且f（﹣x）＝lg＝﹣lg＝﹣f（x），为奇函数；令t＝，y＝lgt，分析可得t＝为增函数，为y＝lgt为增函数，故y＝lg为增函数，不符合题意；对于D、y＝（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性、单调性的判定方法．6．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax2+x，得f′（x）＝x2﹣ax+1，∵函数f（x）＝x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，∴f′（x）＝x2﹣ax+1≥0对任意x∈（0，1）恒成立，即a≤在x∈（0，1）上恒成立，∵在（0，1）上为减函数，∴＞2，则a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．7．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2＝3＝3×20，第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2＝6＝3×21，第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2＝12＝3×22，…；则第n行的n+1个数的和为3×2n﹣1，故选：B．【点评】本题考查归纳推理的应用，注意直接分析各行的所有数的和变化规律．8．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，若分成1﹣2﹣2的三组：有＝15种分组方法，若分成1﹣1﹣3的三组：有＝10种分组方法，则一共有15+10＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，有A33＝6种不同的情况，则有25×6＝150种不同的分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意要先将教师分为3组，再进行排列，对应到3辆不同的巴士．9．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：（1）若“甲是第一名”正确，则“乙不是第一名”也正确，矛盾，排除A；（2）若“乙不是第一名”正确，则“丙不是第二名”错误，故丙为第二名，乙为第三名，于是甲为第一名，故而“甲是第一名”正确，矛盾；（3）若“丙不是第二名”正确，丙为第一名或第三名，由于“乙不是第一名”错误，故而乙是第一名，于是丙为第三名，甲为第二名．故选：D．【点评】本题考查了逻辑推理，属于基础题．10．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：作出h（x）的函数图象如图所示：设直线y＝kx与曲线g（x）＝lnx相切，切点为（x0，y0），则有，解得k＝．∵h（x）＝kx有四个不同的解，∴直线y＝kx与f（x）有2个交点，y＝kx与g（x）有2个交点，∴k＜，排除D，设f（x）与g（x）的交点为A，显然A在第一象限，即k OA＞0，∴k＞k OA．排除A，B．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象与性质，导数的几何意义，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（2x+）6的展开式的通项为T r+1＝26﹣r C6r x6﹣2r，令r＝3得到展开式中常数项为23C63＝160故答案为：160．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．12．【考点】QK：圆的参数方程．【解答】解：根据题意，曲线C的参数方程为，点P为曲线C上的动点，则|PO|2＝（cosα﹣1）2+（sinα+1）2＝（cos2α+sin2α）+2（sinα﹣cosα）+2＝3﹣2（sinα﹣cosα）＝3﹣2sin（α﹣），分析可得：|PO|2≥（3﹣2），则有|PO|≥﹣1，即|PO|的最小值为﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查圆的参数方程，关键是掌握参数方程的形式．13．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，，三人各投篮一次，三人投篮相互独立，则都没有投中的概率为（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，∴至少有一人命中的概率是1﹣＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．14．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3），∴a+2a+3a＝1，解得a＝．P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，列举可得：甲乙丙丁；甲乙丁丙；乙甲丁丙；丙乙甲丁；丙丁甲乙；丙丁乙甲；丁甲乙丙；丁丙乙甲，共有8种结果，故答案为：8．【点评】本题考查计数原理的应用，本题涉及元素数目较少，可以使用列举法分析．16．【考点】63：导数的运算．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，【点评】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）＝，又x＝2为函数f（x）的极值点，∴，解得a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝＝（0＜x＜2）．令g（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a）．当a＝1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）第一组中一等品有2件，从第一组中的8件产品任取3件，一等品的个数X＝0，1，2．P（x＝0）＝＝，P（x＝1）＝＝，P（x＝2）＝＝，随机变量X的分布列为：（Ⅱ）若a＝90，则第三组前7件产品质量得分的平均数为，∴当b＝90时，第三组产品质量得分得方差最小；（Ⅲ）当a＝b＝90时，这24件产品中有三等品6件，频率为，则整批产品中三等品的概率为P＝．从该批产品中任取3件，三等品的个数Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝2）＝，P（x＝3）＝．∴随机变量Y的分布列为：数学期望E（Y）＝3×．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生读取图表的能力，是中档题．19．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；HW：三角函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x的导数为f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝1﹣0﹣1＝0，切点为（0，2），可得切线的方程为y＝2；（Ⅱ）由f′（x）＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，令g（x）＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，可得g′（x）＝﹣cos x+cos x﹣（x﹣1）sin x＝（1﹣x）sin x，由0＜x＜1可得g（x）递增；1＜x＜π可得g（x）递减，则g（1）＝1﹣sin1＞0，g（0）＝0，g（π）＝2﹣π，g（）＝0，则f′（x）在[0，π]的零点为0，，由f（0）＝2，f（）＝π﹣1，f（π）＝π﹣2，可得f（x）的最大值为π﹣1，最小值为π﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查运算能力，属于中档题．。

1．【答案】A【解析】由题意可得：，则复数z =对应的点位于第一象限．本题选择A选项．【名师点睛】一是在T r＋1＝中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．3．【答案】D【解析】由复合函数求导法则可得：．本题选择D选项．【名师点睛】求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．4．【答案】B【解析】投掷4次的所有可能结果为种，其中恰好出现2次正面向上的事件有种，据此可得，题中所求事件的概率值为：．本题选择B选项．5．【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的发送方法有种．本题选择C选项．6．【答案】B取b=85，当m+n=0，−1，1时，s2有可能取得最小值，m=−16，n=15时，s2取得最小值．取b=84，当m+n=0，−1，1时，s2有可能取得最小值，m=−15，n=16时，s2取得最小值．∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253．本题选择B选项．7．【答案】A【解析】本题主要考查独立性检验．由题所给统计表可知a=11，b=34，a+b=45，c=8，d=37，c+d=45，a+c=19，b+d=71，n=90，所以，．本题选择A选项．8．【答案】C【解析】由微积分基本定理有：．本题选择D选项．【名师点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．9．【答案】B【解析】由题意可得：，回归方程满足样本中心点，则：，解得：．本题选择B选项．10．【答案】C11．【答案】B【解析】令可得参数值：，代入参数方程横坐标可得：，据此可得曲线与轴的交点坐标是（-8，0），（-7，0）．本题选择B选项．12．【答案】C【解析】试题分析：根据信息时的规则，中间三位是需要传输的信息，前后为生产信息．A．传输信息，正确；B．传输信息，正确；C．传输信息，错误；D．传输信息，正确；考点：1．创新题；2．推理．13．【答案】-【解析】由题意可得：．14．【答案】27【解析】令可得：，即：．15．【答案】(1)．f（5）<f（2）<f（3）(2)．【解析】①∵函数，∴，f′(x)=0，可得：x=e，∴在(0，e)递增，(e，+∞)递减∴f(3)>f(5)，∵，∴f(2) >f(5)∵∴f(3)>f(2)故答案：f(5)<f(2)<f(3)；，x>e，0<x<e∴在(0，e)递增，在(e，+∞)递减，h(x)的极大值为，∴函数的最大值为．16．【答案】(1)．255 (2)．8，13【解析】(1)a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7第二次，7>3>1所以有：c=3×7+3+7=31第三次：31>7>3所以有：c=7×31+7+31=2552、p>q>0第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)−1因为c>p>q，所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)−1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)−1所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)−1=(p+1)3(q+1)2−1第四次可得：c4=(c3+1)(c2−1)−1=(p+1)5(q+1)3−1故经过6次扩充，所得数为：(q+1)8(p+1)13−1∴m=8，n=13故答案为：255；8，13【名师点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出．其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点．17．【答案】（I）根据已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120，（II）见解析．【解析】试题分析：(1)由递推公式可得：a2=2，a3=6，a4=24，a5=120；(2) 猜想{a n}的通项公式为a n=n!，利用数学归纳法的结论进行证明即可．【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．18．【答案】（I）f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1）；（II）是[1，+）．【解析】试题分析：(1)首先求得函数的导函数，然后利用导函数与原函数的关系可得f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1）；(2)利用题意分类讨论可得c的取值范围是[1，+）．试题解析：（I）f（x）=x3+3x2-9x的定义域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，f（x）与f '（x）在（-，+）上的情况如下：+）所以f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1），（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中结论可知：当c≥1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为f（1）=1+3-9 =-5；当-4<c<1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值大于-5，不合题意舍，因此，c的取值范围是[1，+）．19．【答案】（I）；（II）见解析．试题解析：（I）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1-）×（1-）×（1-）=，所以P（M）=1-P（）=，（II）依题意X=0，1，2，3．P（X=0）=（1-）×（1-）×（1-）=；P（X=1）=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×==；P（X=3）=××==；P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=．所以，随机变量X的分布列为：EX=0×+1×+2×+3×=．20．【答案】（I）；（II）；（III）当f（p）取得最大值时，n的值为2．【解析】试题分析：(1)由题意结合古典概型公式可得所求概率值为；(2)利用二项分布可得3次摸球中恰有1次中奖的概率是；(3)结合概率函数的解析式可得当f（p）取得最大值时，n的值为2．（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=C p（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），因为f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），所以，当p∈（0，）时，f（p）单调递增；当p∈（，1）时，f（p）单调递减，所以，当p=时，f（p）取得最大值．令，解得n=2，n=1（舍去）．所以，当f（p）取得最大值时，n的值为2．21．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：(1)由题意结合函数的单调性即可证得结论，且所有上界的值的集合是；(2)利用题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围是．（II）解：因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以在上恒成立．所以，，令，则，所以在上恒成立，所以，在上恒成立，令，则在上是减函数，所以；令，则在上是增函数，所以，．所以，实数a的取值范围．22．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得．试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程．是以为圆心，为半径的圆．将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用．23．【答案】（I）；（II）见解析．【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率结合所给点的坐标可得标准方程为；(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理证明圆恒过定点即可．试题解析：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．【名师点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

2016-2017学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）命题“若p则q”的逆否命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q 2．（4分）对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关3．（4分）若命题p：∃n∈N，3n＜n3，则￢p为（）A．∀n∈N，3n≥n3B．∀n∈N，3n＜n3C．∃n∈N，3n≥n3D．∃n∈N，3n＜n3 4．（4分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知命题p：|x|≥0；命题q：∀x∈R，x2﹣x﹣1＝0．则下列命题为真命题的是（）A．￢p∨q B．￢p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q 6．（4分）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（）A．3!B．A C．43D．347．（4分）若（）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10．则a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10的值为（）A．B．C．（）10D．（）108．（4分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．B．C．D．9．（4分）某单位安排甲、乙、丙三入从周一至周六值班，每入值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表共（）A．42种B．60种C．84种D．90种10．（4分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx＝0，则称f（x），g（x）在区间[﹣1，1]上是“互为正交函数”．现给出三组函数：①f（x）＝2，g（x）＝e x．②f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1；③f（x）＝x，g（x）＝x2其中“互为正交函数”的组数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）函数f（x）＝sin（2x+）的导函数f′（x）＝．12．（4分）二项式（x﹣）6的展开式中含x4项的系数为．13．（4分）观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为．14．（4分）曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的面积为．15．（4分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是．16．（4分）已知f′（x）和g′（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示，设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）．（i）若f（0）＝1，则f（﹣1）＝．（ii）若函数h（x）的极小值为﹣20，极大值为7，则h（0）＝．三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（9分）已知函数f（x）＝x2e x（I）求函数f（x）的单调区间；（II）求函数f（x）在区间[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．（9分）一个口袋中装有大小、材质都相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，连续摸球两次．（I）如果摸出后不放回，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（II）如果摸出后放回，求恰有一次摸到黑球的概率．19．（9分）某中学为高二学生开设了“艺术欣赏”、“综合实践”两门校本必修课程，两门课程考核合格可分别获得2学分和3学分．根据以往经验，“艺术欣赏”、“综合实践”考核合格的概率分别为和，且每个学生这两科考核是否合格相互独立．已知该校高二学生甲、乙学这两门课程获得的校本学分分别为X，Y．（I）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求“X大于Y”的概率．20．（9分）已知函数f（x）＝tx2lnx（t∈R）（I）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）若不等式f（x）≤恒成立，求实数t的取值范围；（III）已知a＞0，b＞0，求证．2016-2017学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【解答】解：逆否命题是：否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，所以命题“若p则q”的逆否命题是：若￢q则￢p．故选：C．【点评】本题考查命题的逆否命题，四种命题的关系，基本知识的考查．2．【考点】BG：变量间的相关关系．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．【点评】本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题．3．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃n∈N，3n＜n3，则￢p 为∀n∈N，3n≥n3．故选：A．【点评】本题命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本小题主要考查充要条件相关知识．5．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：∵命题p：|x|≥0为真命题；命题q：∀x∈R，x2﹣x﹣1＝0为假命题．故命题￢p∨q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题．命题p∨￢q为真命题．故选：C．【点评】本题考查的知识点是复合命题，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键．6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3＝34种不同的报名方法；故选：D．【点评】本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”．7．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：在（﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10中，令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．8．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是p，则×p＝，解得p＝．故选：B．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．9．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意分两种情况讨论：①、当甲排在星期六，有C41C42＝24种排法；②、当甲不排在星期六，有C42C32＝18种排法；∴值班方案种数为24+18＝42种；故选：A．【点评】本题考查了计数原理、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：函数f（x），g（x）满足，则y＝f（x）g（x）为奇函数，对于①：f（x）＝2，g（x）＝e x，∴y＝2e x不是奇函数，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1，则y＝（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1为偶函数，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：f（x）＝x，g（x）＝x2，∴y＝x3，为奇函数，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有1组，故选：B．【点评】本题考查定积分的性质，函数的奇偶性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.11．【考点】63：导数的运算．【解答】解：f′（x）＝cos（2x+）•（2x+）′＝2cos（2x+），故答案为：2cos（2x+）【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题12．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝（﹣）6﹣r C6r x r令r＝4得含x4的项的系数是（﹣）2C64＝45故答案为：45【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+++…+＜故答案为：1+++…+＜【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0直线y＝x与曲线y＝x2所围图形的面积S＝∫02（2x﹣x2）dx而∫02（2x﹣x2）dx＝（x2﹣）|02＝4﹣＝∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，同时考查了会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，属于基础题．15．【考点】CF：几何概型．【解答】解：小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，总时长为40分钟，设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟的时长为20分钟，由几何概型的公式得到故P＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，明确时间段，利用几何概型公式解答；属于基础题16．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（i）设f（x）＝ax2+bx+c．f′（x）＝2ax+b．由图象可得：f′（x）经过两点（﹣2，0），（1，3）．∴f′（x）﹣0＝（x+2），化为：f′（x）＝x+2．∴2a＝1，b＝2．解得a＝，b＝2．又f（0）＝1，∴c＝1．∴f（x）＝+2x+1．∴f（﹣1）＝﹣2+1＝﹣．（ii）设g（x）＝．g′（x）＝3．由图象可得g′（x）经过（﹣2，0），（1，3）．∴12a1﹣4a2+a3＝0，3a1+2a2+a3＝3，∴，a3＝4﹣4a2．∴g（x）＝x3++（4﹣4a2）x+a4．h（x）＝f（x）﹣g（x）．∴h′（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝x+2﹣（2a2﹣1）x2﹣2a2x﹣4+4a2．由图象可得：函数h（x）的两个极值点分别为﹣2，1．x＞1时，h′（x）＜0．∴﹣2，1分别为函数h（x）的极小值点与极大值点．函数h（x）的极小值为﹣20，极大值为7，∴2﹣4+1+8﹣4a2+2（4﹣4a2）﹣a4＝﹣20，+1﹣﹣a2﹣（4﹣4a2）﹣a4＝7，解得a2＝，a4＝1．则h（0）＝f（0）﹣g（0）＝1﹣1＝0．故答案为：﹣，0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合思想方法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，1]递增，而f（﹣3）＝＜f（﹣2）＝，f（0）＝0，f（1）＝e，故f（x）的最大值是e，f（x）的最小值是0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．18．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（Ⅰ）一个口袋中装有大小、材质都相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，连续摸球两次，如果摸出后不放回，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率：p1＝＝．（II）如果摸出后放回，恰有一次摸到黑球的概率：p2＝＝．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．19．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（I）X的可能取值为0，2，3，5，P（X＝0）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝5）＝＝．∴X的分布列为：E（X）＝2×+3×＝．（II）P（X＞Y）＝+•（）+•（）＝．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．20．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】（I）解：f（1）＝0，f′（x）＝t（2xlnx+x），∴f′（1）＝t．∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y＝t（x﹣1）．（II）解：f′（x）＝2tx（lnx+），x＞0，令：f′（x）＝0，解得x＝．①t＝0时，f（x）＝0≤恒成立，∴t＝0满足条件．②t＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．x→+∞时，f（x）→+∞，不满足f（x）≤恒成立，舍去．③t＜0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．∴x＝时，f（x）取得极大值即最大值，由f（x）＝t×≤恒成立，解得t ≥﹣2．∴t∈[﹣2，0）．综上可得：t的取值范围是[﹣2，0]．（III）证明：a＞0，b＞0，证明．⇔＞﹣⇔x＞0，﹣x2lnx ＜1．由（II）可得：t＝﹣1时，﹣x2lnx≤＝＝＜1，∴x＞0，﹣x2lnx＜1．∴a＞0，b＞0，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、等价转化方法、不等式的证明、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。