最新版,二面角求法及经典题型归纳-(10581)
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立体几何二面角求法
一：知识准备
1、二面角的概念 ：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做
二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面 .
2、 二面角的平面角的概念 ：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别
做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、 二面角的大小范围 ：[0° ， 180° ]
4、 三垂线定理 ：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和
这条斜线垂直
5、平面的法向量 ：直线 L 垂直平面 α，取直线 L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面 α
的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）
6、二面角做法：做二面角的平面角主要有 3 种方法：
（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的 2 条射线，这 2 条所夹 的
角；
（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与 2 个半平面分别有一条交线，这 2
条交线所成的角；
（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为 A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂
足（记为 B）再做棱的垂线，记垂足为 C，连接 AC，则∠ ACB 即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？
二：二面角的基本求法及练习
1、 定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 这
a 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，
这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。 如例 1 中从二面角 S—AM O
B
—B 中半平面 ABM 上的一已知点（ B）向棱 AM 作垂线，得垂足（ F）；
在另一半平面 ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如 GF），这两条
A
垂线（ BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一
个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例 1．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求 （1）二面角 A- B C - A 的大小；
1 1
（2）平面 A1 DC1 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值。
D1
C1
A1 B1
D C
A B
- 1 -例 2: 如图 1，设正方形 ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1 中点，求截面 A1BD和 EBD所成
二面角的度数。
练习：过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ，设 PA=AB= a ，求二面角
B - PC - D 的大小。
P
A
D
B
C
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点 P 在一个半平面上
则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面
角 B-FC
1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂
线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点
与终点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再
解直角三角形求二面角的度数。
例 1． 平面ABCD ^ 平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且 AF=
EF 的中点， 1
2 AD= a，G 是
（1）求证： 平面AGC ^ 平面BGC ；（2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；
（3）求二面角 B - AC - G 的大小。
- 2 -°
例 2．点 P 在平面 ABC 外， ABC 是等腰直角三角形， ? ABC 90 ， PAB 是正三角形，
PA ^ BC 。
（1）求证： 平面PAB ^ 平面ABC ；
（2）求二面角 P - AC - B 的大小。
P
A
B C
例 3. 如图 3，设三棱锥 V-ABC中，VA⊥底面 ABC，AB⊥BC， DE垂直平分 VC，且分别交 AC、
VC于 D、E，又 VA=AB，VB=BC，求二面角 E-BD-C 的度数。
练习：正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱长为 1，P 是 AD 的中点，求二面角 A- BD - P 的大
1
小。
C1
B1
D1 A1
C B
D P A
- 3 -3．无棱二面角的处理方法
（1） 补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时， 要将两平面
的图形补充完整， 使之有明确的交线 （称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
例 1．过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA^ 平面ABCD ，设 PA=AB= a，
（1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。
例 2．如图所示，四棱锥P- ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ BCD＝60°， E 是
CD 的中点， PA⊥底面 ABCD，PA＝ 2.
（Ⅰ）证明：平面 PBE⊥平面 PAB;
（Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小 .
例 3．如图 10，设正三棱柱ABC-A'B'C' 各棱长均为 α，D为 CC1 中点，求平面
A'BD与平面 ABC所成二面角的度数。
例 4、正三角形 ABC 的边长为 10，A∈平面 α，B、C 在平面 α 的同侧，且与 α
的距离分别是 4 和 2，求平面 ABC 与 α 所成的角的正弦值。
- 4 -（2） 射影面积法 （ cosq = s
射影
S ）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积
的都可利用射影面积公式（ cos S 射
S 斜
）求出二面角的大小。
例 1：正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，E 为棱 AA 1 的中点，求平面 EB1C 和平面 ABCD 所成的
二面角。
例 2．正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，P 是棱 AA1 的中点， 求平面 PB1C1 与平面 ABCD
所成二面角的大小 。
例 3 如图 12，设正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，M 为 AA 1 上点， A1M:MA=3:1, 求截面 B1D1M
与底面 ABCD 所成二面角。
例 4．如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC 2 ， ACB 90 ， AP BP AB ，
PC AC ．（Ⅰ）求证： PC AB ；（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小；
- 5 -4、 垂面法 :
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此
公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
例如：过二面角内一点 A 作 AB ⊥α于 B，作 AC ⊥β于 C，面
ABC 交棱 a 于点 O，则∠ BOC 就是二面角的平面角。
例 1． SA^ 平面ABC，AB ^ BC，SA= AB = BC，
（1）求证： SB^ BC ； （2）求二面角 C - SA- B 的大小；
（3）求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。
P
A
D
B C
例 2、如图 6，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB、C1D1 的中点。
（1）求证： A1、E、C、F 四点共面；（2）求二面角 A1-EC-D 的大小。
例 3、如图，已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直，且 AB＝PA，求平面 PAB
与平面 PCD 所成的二面角的大小。
- 6 -5、 向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法， 可以说所有的立体几何题
都可以用向量法求解， 用向量法解立体几何题时， 通常要建立空间直角坐标系， 写出各点的
坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量 a 、 b ，
a b
有 cos＜ a ，b ＞=
．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的
| a | | b|
问题．
例 1. 在四棱锥 V-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD．求
面 VAD与面 VDB所成的二面角的余弦值．
证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，依题意
得 AB = (0 ，1，0) ，是面 VAD的法向量，
z
设 n = (1 ，y，z) 是面 VDB的法向量，则
n VB 0, y
z 1,
3
3
n = (1 ，－1，－
3
3
) 。 V
D n VB 0. C
∴cos＜ AB ， n ＞
AB n
| AB | | n |
=－
21
7
，
x A B y
又由题意知，面 VAD与面 VDB所成的二面角为锐角，所以其余弦值是 21
7
例 2. 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90 ，AC=1，CB= 2 ，侧棱 AA
1=1，侧面 AA1B1B
的两条对角线交点为 D，B1C1 的中点为 M．
A A 1
⑴求证 CD⊥平面 BDM；
D ⑵求面 B1BD与面 CBD所成二面角的余弦值．
C
C
1
M B B
1
