2014-2015学年广东省惠州一中高三(上)段考数学试卷
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2014-2015学年广东省惠州一中高三（上）段考数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．函数y=3x的反函数是（ ）
A． y=x3 B． y= C． y=log3x D． y=（）x
2．若f′（x0）=2，则等于（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． 1 D．
3．如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|•|OB|等于（ ）
A． B． ﹣ C． ± D． 无法确定
4．函数y=1+ax（0＜a＜1）的反函数的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
5．函数f（x）=cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． π D． 2π
6．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（ ）
A． 2个 B． 1个 C． 3个 D． 4个
7．如果二次函数y=﹣2x2+（a﹣1）x﹣3，在区间（﹣∞，1]上是增函数，则（ ）
A． a=5 B． a=3 C． a≥5 D． a≤﹣3
8．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ ）
A． 40 B． 42 C． 43 D． 45
9．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（ ）
A． 4x﹣y﹣3=0 B． x+4y﹣5=0 C． 4x﹣y+3=0 D． x+4y+3=0
10．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A． 0 B． 6 C． 12 D． 18
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
11．函数y=的定义域是 ．
12．已知等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3= ．
13．y=sin2（πx）﹣cos2（πx）+1的周期是 ．
14．关于函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值是lg2；
④当﹣1＜x＜0或x＞1时，f（x）为增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是
三.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．求下列函数的导数：y=ex•lnx．
16．已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的最大值与最小值；
（3）若α﹣β≠kπ，k∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
17．已知曲线y=和y=x2它们交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点．求△ABP的面积．
18．在等差数列{an}中，首项a1=1，数列{bn}满足bn=（），且b1b2b3=．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求a1b1+a2b2+…+anbn．
19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
20．设a为实数，设函数的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（Ⅱ）求g（a）；
（Ⅲ）试求满足的所有实数a．
2014-2015学年广东省惠州一中高三（上）段考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．函数y=3x的反函数是（ ）
A． y=x3 B． y= C． y=log3x D． y=（）x
考点： 反函数．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据y=3x，y＞0，得出x=log3y，即函数y=3x的反函数y=log3x，x＞0．
解答： 解：∵函数y=3x，y＞0
∴x=log3y，
∴函数y=3x的反函数y=log3x，x＞0．
故选：C
点评： 本题考查了指数，对数函数的性质，反函数的概念，属于容易题．
2．若f′（x0）=2，则等于（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． 1 D．
考点： 极限及其运算．
专题： 极限思想．
分析： 首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．
解答： 解析：因为f′（x0）=2，由导数的定义
即=2⇒=﹣1
所以答案选择A．
点评： 此题主要考查函数在一点导数的概念的应用，属于记忆理解性的问题，这类题目属于最基础性的．
3．如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|•|OB|等于（ ）
A． B． ﹣ C． ± D． 无法确定
考点： 函数的图象；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 由函数图象我们可以分析出A，B分别是二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴的交点，则|OA|•|OB|=|x1x2|=||，由图象开口朝下，得a＜0，由函数图象与Y轴的交点在X轴上方，得c＞0，代入根据绝对值的定义即可得到答案．
解答： 解：由图易得：
A，B分别是二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴的交点，
则|OA|=|x1|，|OB|=|x2|
又∵图象开口朝下，
∴a＜0，
又∵函数图象与Y轴的交点在X轴上方
∴c＞0
∴|OA|•|OB|
=|OA•OB|
=|x1x2|
=||
=﹣
故选B
点评： 在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．
4．函数y=1+ax（0＜a＜1）的反函数的图象大致是（ ） A． B． C．
D．
考点： 反函数．
专题： 数形结合．
分析： 从条件中函数式y=1+ax（0＜a＜1）中反解出x，再将x，y互换即得，然后再判断函数的图象．
解答： 解：函数y=1+ax（0＜a＜1）的反函数为y=loga（x﹣1），
它的图象是函数y=logax向右移动1个单位得到，
故选A．
点评： 本题主要考查反函数的知识点，求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
5．函数f（x）=cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． π D． 2π
考点： 二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
专题： 计算题．
分析： 把函数f（x）的解析式利用二倍角的正弦函数公式变形后，化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=中，求出函数的周期，
解答： 解：f（x）=cosxsinx=sin2x，
∵ω=2，∴T==π，
则此函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为=．
故选B
点评： 此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数值是求函数周期的关键．
6．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（ ）
A． 2个 B． 1个 C． 3个 D． 4个
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： 如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．
解答： 解：如图所示，
由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：
函数f（x）只有在点B处取得极小值，
∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．
∴函数f（x）在点B处取得极小值．
故选：B．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．如果二次函数y=﹣2x2+（a﹣1）x﹣3，在区间（﹣∞，1]上是增函数，则（ ）
A． a=5 B． a=3 C． a≥5 D． a≤﹣3
考点： 二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由二次函数的解析式，我们易判断二次函数的开口方向及对称轴，结合函数在区间（﹣∞，1]上是增函数及二次函数的性质我们易判断区间（﹣∞，1]与对称轴的关系，进而构造出一个关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
解答： 解：二次函数y=﹣2x2+（a﹣1）x﹣3的图象是开口方向朝下，
以直线x=为对称轴的抛物线，
∵函数在区间（﹣∞，1]上是增函数
则1≤，解得a≥5，
故选：C
点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中利用二次函数的性质构造出一个关于a的不等式，是解答本题的关键．
