242.轴对称2(复习)1

海陵中学初二数学期中教学案 班级 ，姓名 设计人：潘红梅 杨红芳 第十二章《轴对称》

轴对称复习（2）

【要点梳理】

知识点1

等腰三角形的性质

性质1： 等腰三角形的两底角相等

；

简写成： 等边对等角

．

性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互整重合

知识点2 等腰三角形的判定

1．定义：有两边相等的三角形 ；

2．定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等

简写成： 等边对等角 ．

知识点3 等边三角形的概念

三边相等的三角形 ，叫做等边三角形．

知识点4 等边三角形的性质

等边三角形的 三个角都相等 ，且 每一个角都等于60°．

知识点5 等边三角形的判定

1． 三边都相等的三角形是等边三角形 ；

2． 三个角都相等的三角形是等边三角形 .

知识点6 含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果 有一个锐角等于30度，那么 它所对的直角边等于斜边的一半 ．

【典型例题】

例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，

AD=DE=EB．求∠A的度数．

解：∵AB=AC BD=BC

∴∠A=∠DBC

∵AD=DE=EB

∴∠A=∠DBC=2∠EBD

∠C=3∠EBD

∴4∠A=180°

∠A=45°

例2 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，求证： BE=CE．

证明：∵AB=AC AD⊥BC

∴BD=CD ∠BDE=∠CDE

在ΔBDE和ΔCDE中

∵BD=CD∠ BDE=∠CDE

DE=DE

∴ΔBDE ≌ΔCDE

∴BE=CE

例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥BA于D，AE平分∠BAC交CD于点F，交BC于点E．求证：△CEF是等腰三角形．

证明：∵CD⊥BA

∴∠DAF＋∠CFE=90°

∵∠ACB=90°AE平分∠BAC

∴∠CAE＋∠AEC=∠DAF＋∠CFE

=90°

∴∠AEC=∠CFE

∴△CEF是等腰三角形．

例4 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD．

求证：△DAE为等边三角形． ABCED

证明：∵ΔABC是等边三角形

∴AB=AC,∠B=∠ACB=60°

∴∠ACD=120°

又∵CE平分∠ACD

∴∠ACE=60°

又∵BD=CE

∴ΔABD≌ΔACE

∴∠BAD=CAE,AD=AE

∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD

即∠DAE=∠BAC=60°

∴△DAE为等边三角形

例5 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．

①求∠PBQ的度数．

②判断PQ与BP的数量关系．

解：①∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC , ∠C=∠BAE

∵AE=CD

∴ΔABE≌ΔCAD

∴∠AEB=∠ADC

∵∠AEB+∠BEC=180°

∴∠BEC＋∠ADC=180°

∵∠C＋∠ADC＋∠BEC＋∠DPE=360°

∴∠C＋∠DPE=180°

∵∠C=60°

∴∠DPE=120°

∴∠BPQ=60° ∵BQ⊥AD

∴∠BQP=90°

∴∠PBQ=30°

②PQ=21BP

例6 已知：如图D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，BD=BE，AC=AD，∠B=60°，

求证：AE=CD+DE．

证明：延长BC到F,使得FC=BD,连接AF。

∵AC=AD

∴∠ADC=∠ACD

∴∠ADB=∠ACF

∴ΔABD≌ΔAFC(SAS)

∴AB=AF

∵∠B=60°

∴ΔABF是等边三角形

∵BD=BE，∠B=60°

∴ΔBDE是等边三角形

∴BD=DE=BE

∴AE+BE=BD+CD+CF

∴AE=CD+DE

例7 已知：如图，△ABC中，AB=AC，

∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，且EF=3，求BF、CF的长．

EDCBAEDCBA海陵中学初二数学期中教学案 班级 ，姓名 设计人：潘红梅 杨红芳 第十二章《轴对称》

CFEBA

解：∵AB=AC ∠BAC=120°

∴∠B=30°

∵EF为AB的垂直平分线

∴△BEF为30°的Rt△

∴ BF=2EF

∵EF=3

∴BF=6

连接AF AF=BF ∠EAF=30°

∵ ∠BAC=120°

∴∠CAF=90°

在Rt△ACF中 ∠C=30°

∴CF=2AF

∵EF为AB的垂直平分线

∴AF=BF

∴CF=2BF=4EF

CF=12

【课后巩固】

1．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为65°或50°.

2．等腰三角形的一个外角是70°，则这个三角形的底角的度数是35°

3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为

20°，则顶角的度数为 110° ．

4．等腰三角形的周长为20，则底边长a的取

值范围是0

5．等腰三角形的三边均为整数，且周长为13，则底边是 5或3 ．

6．如图，在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，AD、CE相交于点G，则图中等腰三角形的个数为

3 个．

7．在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为 40 ．

8．若三角形的三边a、b、c满足

（1）（a－b）（b－c）（c－a）=0，则这个三角形是 等腰 三角形．

（2）0)()()(222cacbba，则这个三角形是 等边

三角形．

9．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，1P与P关于OB对称，2P与P关于OA对称，则12POP△是 等腰 三角形．

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，

∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 2 个．

10．等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

解：设腰为a，底为b

则a＋2a=6 b+2a=15

得a=4 b=13 三角形不成立

a+2a=15 b+2a=6

得a=10 b=1

腰为10 底为1

11．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．

解：设底角X 则顶角为2X -30°得X=52.5°顶角为75° 三内角为52.5°,52°，75°

设顶角为y ,则底角为2y-30°，得y=48°，则三内角为48°，66°，66°. 12．如图，在△ABC中，AB=5㎝，BC=3㎝，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O ， 过点O作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E上，求△BDE的周长．

解：∵AO CO是角平分线

∴∠OAD=∠OAC ∠OCE=∠OCA

∵DE∥AC

∴∠OAC=∠DOA ∠OCA=∠COE

∴ ∠OAD=∠DOA ∠OCE=∠COE

∴DA=DO EO=EC

C△BDE=BD+BE+EO+DO

= BD+DA+BE+CE

=AB+BC

=5+3

=8

13．已知：如图，在△ABC中 ，∠B为锐角，∠ABC＝2∠C ，AD⊥BC于D ，在AB的延长线上取一点E，使BE＝BD，直线ED交AC于点F．求证：AF＝CF．

证明：∵BE=BD ∴ ∠ABD+∠BAD=90°

∴∠E=∠BDE ∠DAC+∠C=90°

∴∠ABC=2∠E ∵∠ABD=2∠C

∵∠BDE=∠CDF ∴∠DAC=2∠C

∠ABC=2∠C ∠ADF=2∠C

∴∠CDF=∠C ∴∠DAC=∠ADF

∴CF=DF ∴AF=DF

∵AD⊥BC ∴AF=CF 14．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，∠BAD=42°，E是AC上一点，AE=AD.求∠EDC的度数．

解：设∠AED=∠ADE=X ∠EDC=y

∴∠C=∠B=X-y

2(X-y)+42°+（180-2X)=180°

2y=42°

Y=21°

15．如图，在△ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC的延长线上取点E，使BD=CE．连结DE交BC于点G．求证：DG=GE

证明：做DF‖AE,DF交BC于F

∵DF‖AE

∴∠DFB=∠ACB

又∵∠CFD=180°-∠DFB,∠BCE=180°-∠ACB

∴∠CFD=∠BCE

∵∠B=∠ACB,∠DFB=∠ACB

∴∠B=∠DFB

∴BD=FD

又∵BD=CE

∴FD=CE

又∵∠BGD=∠CGE

∴ΔDGF≌ΔEGC

∴DG=EG

16．如图，△ABC、△DCE都是等边三角形，A

B C

OCEBDAFEDCBAEDCBAAEDCB