4-18 -求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法

4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理

( Use the method of Variation of Constants to find particular solution to

nonhomogeneous higher order Linear ODE)

[教学内容] 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）

[教学重难点] 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何给出未知函数满足的方程.

[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3

[考核目标]

1. 灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）

1. 常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例）

(1) 引例(1) 求出方程 xcscy'y'; (2) tln t366x4tx''x't2的通解. 这里xxxfsin1csc)(和tttfln36)(不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解.

(2) 解法思路：考察f(t)q(t)xdtdxp(t)dtxd22 (**). 为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程0q(t)xdtdxp(t)dtxd22(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组)(),(21txtx，则齐次线性方程的通解为(t)xc(t)xcx(t)2211，其中21,cc为常数.

现假定方程（**）具有形如(t)(t)xc(t)(t)xc(t)x~2211的特解（这就是常数变易法叫法由来！），经计算得到

(t)]'(t)xc(t)'(t)x[c(t)](t)x'c(t)(t)x'[c(t)'x~22112211，

注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数(t)c(t),c21，因此我们添加一个限制条件 0(t)](t)x'c(t)(t)x'[c2211；进一步求二阶导数得到

(t)]'(t)x'c(t)'(t)x'[c(t)]''(t)xc(t)''(t)x[c(t)''x~22112211，

将(t)''x~(t),'x~(t),x~代入原方程得到，

f(t)'x'c'x'c]q(t)x'p(t)x''(t)[xc]q(t)x'p(t)x''(t)[xc221122221111，

注意到(t) x(t),x21为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方程组

f(t)'c'x'c'x0'cx'cx22112211，由此运用克莱姆法则得到]x,W[xf(t)'x0x'c,]x,W[x'xf(t)x0'c2111221221，这里'x'xxx]x,W[x212121为Wronski行列式，是不为零的（为什么？）.

最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得(t)c (t),c21.

例56 求解 xcscy'y'的一个特解.

解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为0''yy，其特征方程为012，特征值为i2,1.

于是相应的基本解组为sin xy x,cosy21.

第二步：假定原方程具有如下特解 2211(x)yc(x)yc(x)y~，于是由常数变易法知，(x)c(x),c21满足f(x)'c'y'c'y0'cy'cy22112211，解得

1cossinsincoscoscscsin0)('1xxxxxxxxc，xxxxxxxxxxcsincoscossinsincoscscsin0cos)('1.

于是得到，β|sinx|ln(x)c α,x(x)c21，其中βα,为任意常数.

特别地，取0β 0,α得到所求特解为sin x|sin x|ln xcos-x (x)y~.

例57. Find a particular solution to the differential equation ln xey2y''y'x.

Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is

0y2y''y', whose characteristic equation is 0122. Then we get 12,1 and

corresponding fundamental solutions to homogeneous equation are x2x1xey ,ey.

(2) Suppose the original equation has the following particular solution 2211*(x)yc(x)ycy,

Then we get xlnef(x) ,f(x)'cy'c'y0'cy'cyx-22112211. By applying Cramer's Rule, we get xlnxeln xxe-xeeexeexeeln xexe0'c2x2xxxxxxxxxx1, ln xxeeexeeln xee-0e'cxxxxxxt--t2

We use integration by parts to determine that

α4xln x2xdx2xln x2xxln xdx-c2221,

βxxln xdxxxxln xln xdxc2.

Particularly, we choose 0 and get a particular solution to our differential equation is

x2x2xx22*ex43ln xe2xx)xe(xln x)e4xln x2x(-y.

作业51. Find a particular Solution of the differential equation xe112y3y''y'.

例58. 求方程tln t366x t x'4'x't2的通解.

解：（1）相应齐次方程为06x t x'4'x't2，这是一个欧拉方程. 令 ,etτ

其特征方程为064λ1)λ(λ，3λ 2,λ21. 于是相应齐次线性方程的基本解组为332221te x,tex.

（2）改写原方程为标准形式32tln t36xt6 x't4'x'，记3tln t36f(t).

假定上述方程具有如下特解2211*(t)xc(t)xc(t)x，于是有

f(t)'cx'c'x0'cx'cx22112211，42322331t36ln t3t2ttt3ttln t36t0'c, 5232322t36ln t3t2ttttln t362t0t'c

运用分部积分法得到，

α4tln t12tdtt12ln t12t)ln td(t12dtln t36t(t)c3343341；

βt49ln t-9tdtt9ln tt9-)ln td(t9-dtln t36t(t)c4454452 特别地，取0，得到原方程的一个特解)47(3ln tt1(t)x*.

因此，原方程的通解为)47(3ln tt1βtαtx(t)32，其中βα,为任意常数.

作业52. 求解22 t34 t6xt x''x't的通解.

2. 非齐次线性方程的叠加原理

（1）参见教材P131，习题2.

例59 求方程sin t11x'x'的一个特解.

解：令sin t1(t)f 1,(t)f21.

(1) 考察相应齐次线性方程0x'x'，其特征方程01λ2的特征根为iλ1,2，相应的基本解组为sin tx t,cosx21.

(2) 考察非齐次线性方程(t)fx'x'1，假定方程具有特解Axˆ，代入方程运用待定系数法求得1xˆ.

(3) 考察非齐次线性方程(t)fx'x'2，运用例56的结果知，sin t|sin t|ln tcos-t (t)x~

(4) 由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解sin t|sin t|lncostt 1x*.

作业53. 求方程17sin(2t)4e5x2x''x't的通解.

3. 一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法

（1）乘积求导法则：'u(x)v'(x)v(x)u''(u(x)v(x))，

'u(x)v'(x)v'2u'(x)v(x)'u'''(u(x)v(x)).

例60. 求解方程(1) 02y4xy''1)y'(x2; (2) 02y2xy''y'x2通解.

解：(1) 令1xu(x)2，于是方程的左端为'y(x))' (u(x)，于是得到

βxαu(x)y(x)，其中β α,为任意常数.

于是得到原方程的通解为1xβx1xαy(x)22，其中β α,为任意常数.

（2）经观察不能直接运用乘积求导法则，令v2(x)'u' ,v(x)x(x)u' ,v(x)xu(x)2， 由vxvvx2xv(x)u'22，解得3xv(x)，此时x1u(x)，验证可知v2(x)'u'.

原方程两边同除以v(x)，得到新方程为0')'xy( 0,yx2y'x2x'y'32，解得通解为

xβαxy，于是原方程的通解为2 xβαxy，其中β α,为任意常数.

作业53. 求解方程(1) 06xyy'6x'1)y'(x23的通解.

(2) 考察方程0q(t)xdtdxp(t)dtxd22，假设λtex代入得到特征方程0q(t)p(t)λλ2，若特征方程有实常数根1λ，则原方程具有解tλ1ex.(直接代入验证知结论成立)

例61. 求方程（1）0yx)y'(1'xy'的通解；（2）2x2exyx)y'(1'xy'一个特解.

解：(1) 改写原方程为标准形式为0yx1y'xx)(1'y'，原方程的特征方程为0x1λxx)(1λ2，可得一实根11，于是原方程存在一个解函数x1ey. 由刘维尔公式（教材P132习题6或讲义例42）知，与(x)y1线性无关的解为

1xdxxeedxey1(x)y(x)yxxdxxx12112（这里积分只是指的是一个原函数）