20章教案

1 20.1 一次函数的概念

教学目标

知识与技能：理解一次函数、常值函数的概念；

过程与方法：理解一次函数与正比例函数的关系；

情感态度与价值观：会利用待定系数法求一次函数的解析式.

教学重点及难点

一次函数与正比例函数概念的关系；

用待定系数法求一次函数的解析式.

教学过程

一、创设情境，复习导入

问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y•与x的关系．

分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y与x的函数关系式为：

y=120－0.2x （0≤x≤600）

当然，这个函数也可表示为：

y=－0.2x+120 （0≤x≤600）

说明 当一个函数以解析式表示时,如果对函数的定义域未加说明,那么定义域由这个函数的解析式确定；否则,应指明函数的定义域.

这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？从今天开始我们将讨论这些问题．

二、学习新课

1．概念辨析

问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t（小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与t的函数解析式是什么？

类似问题1：这个函数解析式是

S=60t+80

思考：这个解析式和y=-0.2x+120有什么共同特点？

说明 通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一次整式.

如果我们用k表示自变量的系数，b表示常数．•这些函数就可以写成：y=kx+b（k≠0）的形式.

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear

function）．一次函数的定义域是一切实数.

当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定．

2．例题分析 2 例题1 根据变量x、y的关系式, 判断y是否是x的一次函数.

（1）2yx；（2）112yx；（3）123xy；（4）23yx.

例题2 已知变量x、y之间的关系式是y=（a+1）x+a (其中a是常数),那么y是x的一次函数吗?

例题3 已知一个一次函数,当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8.求这个函数的解析式.

分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得.

解 设所求一次函数的解析式为y=kx+b；

由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；

由x=5时y=8,得 8=5k+b.

解二元一次方程组1285kbkb

k=3, b=-7.

所以,这个一次函数的解析式是37yx.

说明 这里求一次函数解析式的方法是待定系数法.解析式中k,b是待定系数,利用两个已知条件列出关于k、b的方程组再求解,可确定它们的值.

3．巩固练习： 1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

（1）8yx． （2）3yx．

（3）256yx． （3）31yx．

2．一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加2米．这个小球的速度v随时间t变化的函数关系是一次函数吗？

3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（小时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

4．已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．

4、自我评价,谈谈感

１．这节课你学会了什么？２．你认为有哪些要注意的地方？

３．你还有什么问题吗？

五、作业：练习册：20.1

分层作业：

课课练8题

教学反思： 学生对根据实际问题列一次函数解析式，有的时候题意不理解，故此解析式不正确，尤其定义域还是不是很准确，有待在今后的学习中，逐渐渗透！

20．2（1）一次函数的图像

教学目标 3 1.了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像;

2.掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距;

3.理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标.

教学重点及难点

1.画出一次函数图像，写出直线的截距;

2.会求直线与坐标轴交点坐标.

教学用具准备

三角板、ppt课件、多媒体设备

教学过程设计

一、 情景引入

1．操作

按照下列步骤画正比例函数y=12x和一次函数y=12x+3的图像，并进行比较

(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y

x „ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 „

y=12x

„ „

y=12x+3 „ „

(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.

(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.(图略)

2．观察观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y=12x+3的对应值比函数y=12x的对应值都大多少?

说明 不论从表中或图像上都可以看出, 对于x的每一个相同值, 函数y=12x+3的对应值比函数y=12x的对应值都大3个单位.因此, 函数y=12x+3的图像是由函数y=12x的图像向上平移3个单位得到的.

3．思考

我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗?

二、学习新课

1．概念辨析

一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.

2．例题分析

例1在平面直角坐标系xOy中，画一次函数y=32x-2的图像.

分析 因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出直线上的两点,再过两

4 点画直线就可以了.

解: 由y=32x-2可知，当x=0时，y=-2；当y=0时， x=3.

所以A(0,-2)、B(3,0)是函数y=32x-2的图像上的两点.

过点A、B画直线，则直线AB就是函数y=32x-2的图像.(图略).

说明 (1)画直线y=kx+b时,通常先描出直线与x轴、y轴的交点,如果直线与x轴、y轴的交点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点.

(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫.

由点A的横坐标x=0，可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0，可知点B在x轴上.又点A、B在直线y=32x-2上，所以点A、B是直线y=32x-2分别与y轴、x轴的交点.

3．概念辨析

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.

一般地，直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.

4．例题分析

例2 写出下列直线的截距：

(1)y=-4x-2； (2)y=8x；

(3)y=3x-a+1； (4)y=(a+2)x+4(a-2).

解 (1)直线y=-4x-2的截距是-2.

(2)直线y=8x的截距是0.

(3)直线y=3x-a+1的截距是-a+1.

(4)直线y=(a+2)x+4(a-2)的截距是4.

说明 本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.

例3 已知直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：

(1)k、b的值；

(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.

分析 直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值.

解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以

20b10k5b20k- 解得 k=21, b=15.

(2)这条直线的表达式为 y=21x+15. 5 由y=21x+15,令y=0，得21x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15.

所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).

说明 本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.

三、巩固练习

1.(口答)说出下列直线的截距：

(1)直线y=3x+2；(2)直线y=-2x-5；(3)直线y=3x+1-2.

2.在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=-32x+2的图像，并求这个图像与坐标轴的交点的坐标.

3.已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.

4.已知直线y=kx+b经过点A(-1,2)和B(21,3),求这条直线的截距.

四、课堂小结(学生归纳,教师引导)

1、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是什么样的形状? 如何画一次函数的图像?

2、什么叫直线的截距? 如何求直线的截距?

3、用什么方法求直线解析式? 如何求直线与坐标轴交点的坐标?

五、作业布置 练习册习题20.2(1)

分层作业：

已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA=21OB,求直线的表达式.

解: 由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=-m2,得点A坐标(-m2,0)；令x=0，得y=2.得点B坐标为(0,2)

所以OA=│-m2│, OB=2

由OA=21OB, 得│-m2│=1, 所以m=±2

所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2

说明 本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解.

教学反思： 对已知解析式求与坐标轴的交点，求与坐标轴围成的面积，学生掌握很好，但