第九章 §9.1 直线方程与圆的方程

直线与圆的方程公式总结

一、直线方程公式

直线是平面上的一种基本几何对象，它可以用方程来表示。下面是几种常见的直线方程公式：

1. 斜截式方程

斜截式方程是描述直线的一种常见形式，它可以表示为 𝑦=𝑘𝑥+𝑏，其中 𝑘 是直线的斜率，𝑏 是直线在 𝑦 轴上的截距。斜截式方程适用于已知直线斜率和截距的情况。

2. 一般式方程

一般式方程是直线的另一种常见形式，它可以表示为 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0，其中

𝐴,𝐵,𝐶 是常数。一般式方程适用于已知直线上两点坐标的情况。

3. 点斜式方程

点斜式方程是描述直线的一种方便形式，它需要已知直线上的一点和直线的斜率。点斜式方程可以表示为 (𝑦−𝑦1)=𝑚(𝑥−𝑥1)，其中 (𝑥1,𝑦1) 是直线上的已知点，𝑚 是直线的斜率。

4. 截距式方程

截距式方程是描述直线的一种常用形式，它需要已知直线在 𝑥 轴和 𝑦 轴上的截距。截距式方程可以表示为 $\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$，其中 𝑎 是直线在 𝑥

轴上的截距，𝑏 是直线在 𝑦 轴上的截距。

二、圆的方程公式

圆是平面上的一个重要几何对象，它可以用方程来表示。下面是两种常见的圆的方程公式：

1. 标准方程

圆的标准方程可以表示为 (𝑥−ℎ)2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2，其中 (ℎ,𝑘) 是圆心的坐标，𝑟 是圆的半径。

2. 中心半径式

圆的中心半径式可以表示为 (𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2，其中 (𝑎,𝑏) 是圆心的坐标，𝑟 是圆的半径。 三、直线与圆的关系

直线和圆之间有几种可能的关系：

1. 直线与圆相切：直线与圆正好接触于一个点。此时，直线与圆的切点坐标满足直线方程和圆的方程。

2. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。此时，直线方程和圆的方程无解。

3. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。此时，直线方程和圆的方程有两组解。

直线与圆方程知识总结

一、坐标法

1．点和坐标

成立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)成立了一一对应的关系．

2．两点间的距离公式

设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么两点间的距离

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：

(1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，那么

|P1P2|=|y2－y1|

(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，那么

|P1P2|=|x2－x1|

3．线段的定比分点

(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是

公式

二、直线

1．直线的倾斜角和斜率

(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．

当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．

因此直线的倾斜角α∈[0，π)．

(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜

∴当k≥0时，α=arctank．(锐角)

当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)

(3)斜率公式：通过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为

2．直线的方程

(1)点斜式 已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，那么其方程为：y－y0=k(x－x0)

(2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，那么其方程为：y=kx＋b

(3)两点式 已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，那么其方程为：

(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距别离为a、b，那么其方程为：

(5)参数式 已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，

v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，那么其参数式方程为

|PP|=12()()xxyy212212(1)PPPPPPPPPPPPPP=PPPP12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．PPP0PPP01212xxxyyy1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标PPP=1PP1212xxxyyy121222率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．kk=tan()2k=y(xx)212yxx121≠yyyyxxx121121=x(xx)12≠xayb1则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为xxatyybt00(t)xxtyyt00cossinαα为参数(t)这时，的几何意义是，→→ttv=pp|t|=|pp|=|pp|000(6)一样式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．

资料来源

资料来源 教学授课计划

课程名称 数学 200 /200 年度第 学期班级 教师姓名 史丰娟

课题 9.1.1 直线的点向式方程.

教学目的和要求 1．理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程.

2．会运用直线的点向式方程.

重点和难点 直线的点向式方程.

直线的点向式方程的推导.

教具 三角板

教学方法 讲练结合

教学过程

一、学情分析

通过直线的点向式方程的推导，培养学生数形结合的思想和数形转化的思想和能力. 培养学生分析问题，解决问题的能力.

二、组织教学：检查人数，准备上课。

三、复习提问：1.向量平行的充分必要条件是什么？

2.初中时我们学过的方程都有哪些？

四、导入新课 一条直线.我们可以把＝＋看成字母系数的关于，的二元一次方程，那么它就是函数＝＋，的图象，即直线的方程.今天我们专门研究直线的方程，首先来学习直线的点向式方程.

五、讲授新课 在直角坐标系中，已知点＝(，)(图9－1)，我们来求过点，并且与非零向量平行的直线的方程.其中叫做直线的方授课日期

班级 资料来源

1 9.1 直线方程与圆的方程

【真题典例】

挖命题

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情

预测热度

考题示例 考向 关联考点

1.直线的倾斜

角、斜率与方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念

2.掌握过两点的直线斜率的计算公式

3.掌握确定两直线位置关系的几何要素以及求直线方程的几种形式

4.了解斜截式与一次函数的关系 2017北京,14 直线的斜率 统计图的理解 ★☆☆

2.直线与直线的位置关系 1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系

2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 2013天津文,5 直线与直线的位置关系 直线与圆的位置关系 ★☆☆ 2 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离

3.圆的方程 1.掌握确定圆的几何要素

2.掌握圆的标准方程与一般方程

3.会用待定系数法和直接法求圆的方程 2017天津文,12

圆的方程 抛物线

★★☆

2016天津文,12 点到直线距离公式

分析解读 从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.

破考点

【考点集训】

考点一 直线的倾斜角、斜率与方程

1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为

”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案 B

2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是 .