2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
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第1页（共18页）
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式x2﹣2x﹣5＞2x的解集是（ ）
A．{x|x≥5或x≤﹣1} B．{x|x＞5或x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|﹣1≤x≤5}
2．已知向量，且相互垂直，则k值为（ ）
A． B． C． D．1
3．“x2=y2”是“x=y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若方程E： =1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）
5．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
6．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
7．若动点M（x，y）始终满足关系式+=8，则动点N的轨迹方程为（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D．﹣=1
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn，且满足，则a1=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2 第2页（共18页）
9．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
10．在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，]
11．已知直线l：y=kx+2k+1与抛物线C：y2=4x，若l与C有且仅有一个公共点，则实数k的取值集合为（ ）
A． B．{﹣1，0} C． D．
12．已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2： =1，若在椭圆C2上存在一点P，使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直，则椭圆C2的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知命题p：∀x∈R，x2+1＞m；命题q：指数函数f（x）=（3﹣m）x是增函数．若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则实数m的取值范围为 ．
14．已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若，则实数λ+μ+γ= ．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn•Sn+1，则数列{an}的通项公式an= ．
16．已知双曲线C： =1，点M与曲线C的焦点不重合，若点M关于曲线C的两个焦点的对称点分别为A，B，M，N是坐标平面内的两点，且线段MN的中点P恰好在双曲线C上，则|AN﹣BN|= ．
三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．设命题p：x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0，x∈R），命题q：﹣x2+5x﹣6≥0，x∈R．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=log2x，g（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和记为Sn，bn为数列{bn}的通项，n∈N*．点（bn，n）和（n，Sn）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令Cn=，求数列{Cn}的前n项和Tn．
19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
（1）若△ABC面积S△ABC=，c=2，A=60°，求a、b的值； 第3页（共18页）
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
20．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
21．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点．
（1）求证：B1E⊥AD1
（2）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．
22．如图示，A，B分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．点P是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线l⊥x轴．以线段AF为直径的圆交直线AP于点A，M，连接FM交直线l于点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线PQ必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，若不存在，说明理由．
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2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式x2﹣2x﹣5＞2x的解集是（ ）
A．{x|x≥5或x≤﹣1} B．{x|x＞5或x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|﹣1≤x≤5}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论．
【解答】解：不等式x2﹣2x﹣5＞2x⇔x2﹣4x﹣5＞0⇔（x﹣5）（x+1）＞0⇒x＞5或x＜﹣1，
故选B．
2．已知向量，且相互垂直，则k值为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】再利用向量坐标运算法则分别求出和2﹣，再由相互垂直，可求出k．
【解答】解：∵向量，
∴=（﹣1+k，k，2），2﹣=（3，2，﹣2），
∵相互垂直，
∴（）•（2﹣）=3（﹣1+k）+2k﹣4=0，
解得k=．
故选：A．
3．“x2=y2”是“x=y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由x2=y2，解得x=±y，即可判断出结论．
【解答】解：由x2=y2，解得x=±y，
可得：“x2=y2”是“x=y”的必要不充分条件．
故选：C． 第5页（共18页）
4．若方程E： =1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】利用双曲线的性质直接求解．
【解答】解：∵方程E： =1表示焦点在y轴上的双曲线，
∴，解得1＜m＜2．
∴实数m的取值范围为（1，2）．
故选：A．
5．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值．
【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，
故B=60°或120°，
故选，C．
6．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．
【分析】由﹣1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=﹣b2＞0，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值．
【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，
∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，
由②得：a1=2a2﹣8，
代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，
解得：a2=5，
∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2， 第6页（共18页）
又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，
∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，
∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，
开方得：b2=﹣2，
则==﹣5．
故选A
7．若动点M（x，y）始终满足关系式+=8，则动点N的轨迹方程为（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D．﹣=1
【考点】轨迹方程．
【分析】由+=8的几何意义，即动点M（x，y）到两定点（0，﹣2）和（0，2）的距离和为定长8，可知动点M的关键为焦点在y轴上的椭圆，且求出a，c的值，结合隐含条件求得b值，则椭圆方程可求．
【解答】解： +=8的几何意义为动点M（x，y）到两定点（0，﹣2）和（0，2）的距离和为定长8，
∵两定点距离为4，且8＞4，
∴动点M的轨迹是以（0，﹣2）和（0，2）为焦点，长轴长是8的椭圆，
则a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=16﹣4=12，
则动点M的轨迹方程为．
故选：B．
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn，且满足，则a1=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列{an}的前n项和Sn的定义，利用a1=S1，即可求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
且满足，
∴Sn=（n﹣1）2﹣（n﹣1）=n2﹣3n+2
∴a1=S1=12﹣3×1+2=0．
