计算理论导引 0_绪论

5.1 证明EQ CFG 是不可判定的。

解：只须证明ALL CFG ≤m EQ CFG 即可。

构造CFG G 1，使L(G 1)=∑*。

设计从ALL CFG 到EQ CFG 的归约函数如下： F=“对于输入＜G ＞，其中G 是CFG ：1）输出＜G ,G 1＞。

”若＜G ＞ALL CFG ，则<G ,G 1>EQ CFG 。

若＜G ＞ALL CFG ，则<G , G 1>EQ CFG 。

F 将ALL CFG 归约到EQ CFG 即ALL CFG ≤m EQ CFG∵ALL CFG 是不可判定的，∴EQ CFG 是不可判定的。

5.2证明EQ CFG 是补图灵可识别的。

证明：注意到A CFG ={<G,w>|G 是能派生串w 的CFG}是可判定的。

构造如下TM ： F=“输入<G ,H>，其中G ,H 是CFG ，1) 对于字符串S 1, S 2,，重复如下步骤。

2) 检测S i 是否可以由G 和H 派生。

3) 若G 和H 中有一个能派生w ，而另一个不能，则接受。

”F 识别EQ CFG 的补。

5.3 略。

5.4 如果A m B 且B 是正则语言，这是否蕴涵着A 也是正则语言？为什么？ 解：否。

例如：对非正则语言A={0n 1n |n 0}和正则语言B={0}，可以构造一个可计算函数f 使得：f(w)=⎩⎨⎧≠=n n nn 10w 1,10w 0, 于是w A f(w)B,故A m B 。

5.5 证明A TM 不可映射规约到E TM 。

证明：反证法假设A TM m E TM ， 则有TM m TM E A ≤。

而A TM 的补不是图灵可识别的，从而可知E TM 的补也不是图灵可识别的。

下面构造一个识别E TM 的补的图灵机S ：S=“输入<M>，M 是TM,1) 对i=1,2,…重复下一步。

2) 对S 1,S 2,…,S i 模拟M 运行i 步，若有接受，则接受。

风阻系数 0.5 0.28~0.4 0.15 0.1~0.2 0.08 0.05
高尔夫球的表面有凹坑，能增加旋转时的提升力，考虑 到这个因素，我把我计算时的高尔夫球的风阻系数取为：
C 0.15
有报道说，顶级专业选手击出的球的初速高达时速180英 里，一般专业选手达160英里时速（约71.1米/秒），业 余选手在126英里时速的水平。计算中，我取初速
y' (0) w0 sin c21
则 x c11t
y
0.5gt2
c21t
✓ 把复杂因素尽可能在符合需求的条件下简化。 8
（2）有空气阻力（但不空考虑风的影响等）
m m
d2x dt2 d2y dt2
k wn 1 k wn 1
dx
dt dy
dt
mg
其中 w ( dx)2 ( dy )2 dt dt
• 数值积分方法（例如复合辛普森公式）求定积分。
求得 x(t)和 y(t) 的离散点值 x j 和 y j
(xj, yj)
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接下来，我们根据这些离散点值，找到一条通过这些 点的光滑曲线，从而给出高尔夫球的完整轨迹。需要： • 插值方法（例如三次样条多项式插值）。
17
• 数据的拟合（例如最小二乘法）
4
• 数值计算方法的研究内容 计算机应用的两大领域： * 数值应用领域 * 非数值应用领域 数值计算方法是数值应用领域的基
础，其主要工作是要设计和分析各种算 法，这些算法是以数值的形式求解科学 和工程中提出的各种数学问题。它是用 近似的方法来处理各种连续的量、函数 和方程，获得它们的数值解（近似解）。
取适当的初值 x0 ，迭代收敛可得到1个根。
✓ 把非线性问题，通过线性化的方法近似求解。

第1章引论本章要点：1.什么是计算；2.计算机科学与计算科学的区别；3.来自计算机发展史的启示；4.计算机应用；5.计算机发展趋势。

1.1 什么是计算？简单计算，如我们从幼儿就开始学习和训练的算术运算，如“3 + 2 = 5”“3 2 = 6”等，是指“数据”在“运算符”的操作下，按“规则”进行的数据变换。

我们不断学习和训练的是各种运算符的“规则”及其组合应用，目的是通过计算得到正确的结果。

广义地讲，一个函数如“”把x变成了f(x)就可认为是一次计算，在高中及大学阶段我们不断学习各种计算“规则”并应用这些规则来求解各种问题，得到正确的计算结果。

如对数与指数、微分与积分等。

“规则”可以学习与掌握，但应用“规则”进行计算则可能超出了人的计算能力，即人知道规则但却没有办法得到计算结果。

如何解决呢？一种办法是研究复杂计算的各种简化的等效计算方法(数学)使人可以计算，另一种办法是设计一些简单的规则，让机械来重复的执行完成计算，即考虑能否用机械来代替人按照“规则”自动计算。

例如：能否机械地判断方程“a1x1b1+a2x2b2+…+a n x n b n = c”是否有整数解?”，即机械地证明一个命题是否有解? 是否正确?类似的上述问题，促进了计算机科学和计算科学的诞生和发展，促进了人们思考：◆什么能够被有效地自动计算？现实世界需要计算的问题是很多的，哪些问题是可以自动计算的，哪些问题是可以在有限时间有限空间内自动计算的？这就出现了计算及计算复杂性问题。

以现实世界的各种思维模式为启发，寻找求解复杂问题的有效规则，就出现了算法及算法设计与分析问题。

例如观察人的思维模式而提出的遗传算法、观察蚂蚁行动的规律而提出的蚁群算法等。

◆如何低成本、高效地实现自动计算？如何构建一个高效的计算系统：计算机器的构建问题和软件系统的构建问题。

◆如何方便有效地利用计算系统进行计算？利用已有计算系统，面向各行各业的计算问题求解。

什么能、且如何被有效地自动计算问题就是计算学科的科学家不断在研究和解决的问题。

将问题分解为若干个子 问题，通过求解子问题 的最优解来得到原问题 的最优解的思想，适用 于具有重叠子问题和最 优子结构性质的问题。
03
复杂度理论
时间复杂度与空间复杂度
1 2
时间复杂度
评估算法执行时间随输入规模增长的速度，常用 大O表示法（如O(n), O(n^2), O(log n)等）来 描述。
广度优先搜索（BFS）
从某个顶点出发，逐层访问图中所有顶点，直到达到指定顶点或无 法再访问为止。
图的遍历应用
用于解决图的连通性问题、寻找图中的路径、生成拓扑排序等问题。
最小生成树与最短路径算法
01
最小生成树（MST）
对于连通的无向图，一个包含图中所有顶点的连通子图，且所有边的权
值之和最小。常用算法有Prim算法和Kruskal算法。
时间复杂度
动态规划和分治策略的时间复杂度通常取决于问题的规模 和子问题的数量。在某些情况下，动态规划可能比分治策 略更高效，因为它避免了重复计算子问题。
06
计算几何与算法
计算几何基本概念与性质
点、线、面的表示与性质
计算几何中的基本元素包括点、线、面等，它们在计算机中的表 示方式及其性质是研究计算几何的基础。
01
几何搜索
02
最近点对问题
03
应用场景
几何搜索是指在几何数据集中查找满 足特定条件的几何对象，如查找最近 的点、线、面等。常见的几何搜索算 法有KD树、四叉树、R树等。
最近点对问题是指在给定的点集中找 到距离最近的两个点。该问题可以通 过分治算法在O(nlogn)的时间复杂度 内解决。
几何搜索和最近点对问题在计算机图 形学、计算机视觉、机器人学等领域 有着广泛的应用，如三维模型检索、 图像特征匹配、机器人避障等。