三重积分对称性ppt

x c os z
显 然 ： y s 。 in
z z
M(x,y,z)
c o s 0 i s n
y J ( ( x , , y , , z z ) ) s i c n 0 o ， s O
00 1 x
P(,)
∴ f (x, y, z)dxdydz f ( cos, sin, z) dddz.
z cr cos .
x2 a2
by22
cz22
r2.
r1
I (a x 2 2 b y2 2c z2 2)dx d y r2 d Jd z rd d
Jabcr2sin
I a b c 0 2 d0 s in d0 1 r 4 d r 54abc.
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
f (rs ic n o ,rss isn i,r n c o )r2 s id n r d d
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
x ar sin cos , 解： y br sin sin ,
zzu,v,w
（ 2 ） 上 面 变 换 中 的 函 数 在 区 域 具 连 续 偏 导 有 数 ；
（ 3 ） J u x , , v y , , w z 0 , u , v , w ， 则
f (x, y,z)dxdydz
f(xu ,v,w ,yu ,v,w ,z(u ,v,w )Jdudv
z
d
d
dz

三重积分积分区域平面对称三重积分是微积分中的一种重要概念，用于求解三维空间内的体积、质量、质心等问题。

而在实际应用中，往往会遇到一些具有平面对称性的问题，这些问题常常可以通过利用平面对称性来简化计算。

本文将以三重积分积分区域平面对称为主题，探讨平面对称性在三重积分中的应用。

我们来回顾一下三重积分的概念。

三重积分是对三维空间中的一个区域进行积分，其表示的是该区域内某一函数的总体积。

三重积分的计算可以通过将区域划分为无穷小的体积元，并对每个体积元内的函数值进行积分来实现。

这样，三重积分的计算可以看作是对整个区域的求和。

在实际问题中，往往会遇到一些具有平面对称性的区域。

平面对称性指的是区域关于某个平面具有对称性，即该平面上的任意一点与其关于平面的对称点相等。

利用平面对称性，我们可以将三重积分的计算简化为对该平面上的一部分区域的积分。

这样可以大大减小计算的复杂度，提高计算效率。

以一个简单的例子来说明平面对称性在三重积分中的应用。

考虑一个立方体，其底面在xy平面上，顶点位于(0,0,0)。

由于立方体具有六个面，且每个面都关于xy平面对称，因此我们只需要计算其中一个面的积分，然后乘以六即可得到整个立方体的积分结果。

对于具有平面对称性的问题，我们可以选择合适的坐标系来简化计算。

例如，在上述立方体的例子中，我们可以选择以底面为xy平面，然后选择合适的坐标系来进行计算。

这样，我们可以仅考虑xy平面上的一个象限，从而将三重积分的计算简化为二重积分的计算。

除了立方体，还有许多其他具有平面对称性的区域可以应用类似的方法进行简化。

例如，球体具有关于任意直径的平面对称性，因此可以通过选择合适的坐标系将三重积分转化为球坐标系下的二重积分。

这样可以大大简化计算过程，提高计算效率。

当然，并不是所有的问题都具有平面对称性，有些问题可能需要直接进行三重积分的计算。

但是对于具有平面对称性的问题，利用平面对称性来简化计算是一种非常有效的方法。

设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱面坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
0 0 2π
z
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
O
y
x
1
xdx
1 2
(1
x
)
d
y
1 x2 y
dz
0
0
0
z 1
1
O
2
y
x1
1
xdx
1 2
(1
x
)
(1
x
2
y
)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
例2. 计算三重积分 z2 d x d y d z ,
其中
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1.
c zc
c z Dz
z
O a
by
解: :
Dz
(x,
y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 z
d v d dd z
z
因此 f (x, y, z)dxdydz
dz
O
F(, , z) d d dz
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
y
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
高等数学三重积分
一、三重积分的概念

2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：