习题四
1．设随机变量X 的分布律为
X
-1 0 1 2
k p
0.1
0.2
0.3
p
求p ，)(X E ，)12(-X E .
答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ； 2.设随机变量X 的分布律为
X -1 0 1
p
1p 2p 3p
且已知1.0)(=X E ,9.0)(2
=X E ,求1p ，2p ，3p .
【解】因1231P P P ++=……①,
又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,
2222
12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 3.设随机变量X 的概率密度为
=)(x f
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其它x x x x
求)(X E ，)(X D . 【解】12
20
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰
2
1
3
32011 1.33x x x ⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
12
22320
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰ 故 2
2
1()()[()].6
D X
E X E X =-= 4.设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨
⎧<≥=-.
0,
0,0,e )(2
2x x cx x f x
k
求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D .
【解】(1) 由
22
2
()d e d 12k x c
f x x cx x k
+∞
+∞
--∞
==
=⎰
⎰得22c k =. (2) 22
2
()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞
+∞
--∞
=
=⎰
⎰
22
2
20
π2e
d .2k x k
x x k
+∞
-==
⎰
(3) 22
2
2
22
2
1()()d()2e
.k x E X x f x x x k x k +∞
+∞--∞
=
=⎰
⎰
故 2
22
221π4π()()[()].4D X E X E X k k
-=-=-=⎝⎭ 5. 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从区间⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ上的均匀分布，求弦PA 的长度的数学期望.
解：弦PA 的长为随机变量X ，由任意θ的密度函数为
π
θπθθθθπθπ
πθπ
π4
1cos 2)cos 2(cos 2cos ,02
2,1)(22
=
=====⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰-d E EX PB X PA p 故其他
6．设X 服从柯西分布，其密度函数为
+∞<<-∞+=
x x x f ,)
1(1
)(2π
问)(X E 是否存在？ 解：因为
∞=+⎰
+∞
∞
-dx x
x
2
11
1
π 所以EX 不存在。
7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求⎪⎭
⎫
⎝⎛+X E 11. 答案：
96
67
8．设随机变量X 服从区间⎪⎭⎫
⎝⎛
-
21,21上的均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差.
解：⎰
-==
212
1,0sin xdx EY π
⎰-===212
122
2/1sin xdx EY DY π。
9.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，其概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-.
0,
0,0,
e 41)(4x x x
f x
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，
而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元 /4
1/41
1{100}{1}e d e 4
x P Y P X x +∞
--==≥=
=⎰
1/4
{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-
故1/4
1/41/4()100e
(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).
10.设随机变量Z Y X ,,相互独立，且,5)(=X E ,11)(=Y E ,8)(=Z E 求下列随机变量的数学期望. （1）132-+=Y X U ；（2）X YZ V 4-=. 【解】(1) 42)(=U E ；(2) 68)(=V E 11.设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<<=.,
0,
10,),(其它x y k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E . 【解】因
1
001
(,)d d d d 1,2
x
f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
===⎰⎰
⎰⎰故k=2
10
()(,)d d d 2d 0.25x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
12.设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其它x x =)(y f Y ⎩⎨
⎧>--.
,
0,
5,)5(其它y e y 求)(XY E .
【解】先求X 与Y 的均值
