高三圆锥曲线复习题及答案

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线专项练习答案1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为:，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或. ……5分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分1.【解析】试题解析：(Ⅰ)设直线，，，．将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形能为平行四边形．因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为 :或时，四边形为平行四边形．3.解：（Ⅰ）因为，，故， 所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. （Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13422=+y x 0≠y l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N由得.则，. 所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积 . 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12. 综上，四边形面积的取值范围为.4.试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （II ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 01248)34(2222=-+-+k x k x k 3482221+=+k k x x 341242221+-=k k x x 34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--=x k y A m 122+k 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ MPNQ 341112||||212++==k PQ MN S l x MPNQ )38,12[l x 1=x 3||=MN 8||=PQ MPNQ MPNQ )38,12[由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-+，故同理可得AN ==， 由2AM AN =得22233ktk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<. 因此k 的取值范围是)2.5.解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 6.解：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，）.则121k k +-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）7.（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r由=NP u u u ru u u r得00=,=x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22122+=x y因此点P 的轨迹方程为222+=x y（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn u u u r u u u r u u u r u u u rg ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r由1=OP PQ u u u r u u u rg 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故3+3m -tn=0所以0=OQ PF u u u r u u u r g ，即⊥OQ PF u u u r u u u r .学.科网又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.8.（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y yx ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x g 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =u u u r u u u rg ,故()()()()121244220x x y y --+++=即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ， 所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x -y -2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-= 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝14．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．165．高8 m 和4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m ，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物二、填空题7．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝ 2a －3c 2a ，整理得a 2＝3c 2，即e 2＝13，解得e ＝33.答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．11．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由12．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围．圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1， b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ba ＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 227＝1. 答案：B4．(2010·辽宁)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16 解析：解法一：AF 直线方程为： y ＝－3(x －2)，当x ＝－2时，y ＝43，∴A (－2,43)． 当y ＝43时代入y 2＝8x 中，x ＝6， ∴P (6,43)，∴|PF |＝|P A |＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵P A ⊥l ，∴P A ∥x 轴． 又∵∠AFO ＝60°，∴∠F AP ＝60°， 又由抛物线定义知P A ＝PF ， ∴△P AF 为等边三角形． 又在Rt △AFF ′中，FF ′＝4， ∴F A ＝8，∴P A ＝8.故选B. 答案：B5．高8 m 和4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m ，则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：如图1，假设AB 、CD 分别为高4 m 、8 m 的旗杆，P 点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BP A ＝∠DPC ，则Rt △ABP ∽Rt △CDP ，BA P A ＝DCPC ，从而PC ＝2P A .在平面APC 上，以AC 为x 轴，AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图 2)，则A (－5,0)，C (5,0)，设P (x ，y )，得(x －5)2＋y 2＝2(x ＋5)2＋y 2 化简得x 2＋y 2＋503x ＋25＝0，显然，P 点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2⇒e 2<12，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，227．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c ＝4，ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)3x ±y ＝0即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a，整理得a 2＝3c 2，即e 2＝13，解得e ＝33. 答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝235，∴b 2＝103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，则|PF 1|＝453，|PF 2|＝253.由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴．故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609，∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)， 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2， ④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直 线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．12．(2009·陕西，21)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围．解：解法一：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0.由AP →＝λPB →＝λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝(1＋λ)24λ，设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2， ∴tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1. 记S (λ)＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则S ′(λ)＝12⎝⎛⎭⎫1－1λ2 由S ′(λ)＝0得λ＝1，又S (1)＝2， S ⎝⎛⎭⎫13＝83，S (2)＝94， ∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2，当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，83. 解法二：(1)同解法一． (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m 由题意知|k |<2，m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 2－k ，2m2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝－2x ，得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋k ，2m 2＋k .由AP →=λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k －λ2＋k ，2m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k ＋λ2＋k ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1得4m 24－k 2＝(1＋λ)2λ.设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为(0，m )． S △AOB ＝S △AOQ ＋S △BOQ＝12|OQ |·|x A |＋12|OQ |·|x B | ＝12m ·(x A －x B )＝12m ⎝⎛⎭⎫m2－k ＋m 2＋k ＝12·4m 24－k 2 ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1. 以下同解法一。

解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。