高中数学 平面向量应用举例

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1 / 6 7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例

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一、选择题

1．已知直线l：5x－y－7＝0，向量P＝(k＋1,2k－3)，且P∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( )

A．73 B．136

C．163 D．－83

解析：l的方向向量v＝(1,5)，由v与P平行得

5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－83.

答案：D

2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )

A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)

B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)

C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)

D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)

解析：直线3x－4y＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a＝(4,3)，b＝(3，－4)．

答案：C

3．在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC一定是( )

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

解析：(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，∴2AC→·BA→＝0，∴AC→⊥BA→，∴∠A＝90°.故选C．

答案：C

4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )

A．(－2,4) B．(－30,25) word 2 / 6 C．(10，－5) D．(5，－10)

解析：设5秒后点P运动到点A，则PA→＝PO→＋OA→＝5v＝(20，－15)，∴OA→＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．

答案：C

5．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(

平面几何中常见结论的向量证法

第一篇：平面几何中常见结论的向量证法

平面几何中常见结论的向量证法

例1.证明直径所对的圆周角是直角.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90°.证明：设AOa,OCb,由已知得|a|=|b|, 则ACBC(ab)(ab)ab0, ∴AC⊥BC,即

∠ACB=900.22B

例2.（任意三角形中的射影定理）：在三角形ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，求证：b=a·cosC+c·cosA①

c=a·cosB+b·cosA② a

a=c·cosB+b·cosC③ A

证明：如图：设，，.则 , (),,

||||cosA||||cosC||2,||cosA||cosC||, b=a·cosC+c·cosA.①

类似地可得c=a·cosB+b·cosA.②a=c·cosB+b·cosC.③

说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角 形中三角函数的定义来证明.例3.(直角三角形中的射影定理)：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：AC2=AD·AB①BC2=BD·AB ②证明：∵ -,(1).（2）22图2 图3又∵∠ACB=90°，CD⊥AB  0,0,2∴ 由（1）,（2）得：(-)()()-=BCAC-|BA||AD|cos|BA||AD|.即：AC2=AD·AB.①类似地可得:

BC2=BD·AB.②

想一想①：用向量方法证明勾股定理.例4.已知PT是圆O的切线，PAB是圆的割线，求证：PT2=PA·PB.（圆幂定理）证明：设圆O的半径为R，P是平面上任意一点，过P引射线交圆O于A、B，为上的单位向量，

1,2分别表示

B、的长度，则 1，2.1 P 图4 O

§6.4.2 向量在物理中的应用举例

一、内容和内容解析

内容：向量在物理中的应用

内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.

通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养.

二、目标和目标解析

目标：

（1）会用平面向量知识解决简单的物理问题，培养数学建模的核心素养．

（2）体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用，提升数学运算的核心素养．

目标解析：

（1）向量在物理中的应用实际上是先把物理问题转化为向量问题，然后利用向量运算解决问题，最后再用所得的结果解释物理现象.

（2）借助具体实例，体会将物理问题转化为数学问题和用数学模型来解释物理现象，以此培养学生数学建模素养，提高从向量角度分析和解决实际问题的能力．

（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量在物理中的应用的教学中，将物理问题转化为向量问题是进行数学建模教学的好机会．

基于上述分析，本节课的教学重点定为：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．

三、教学问题诊断分析

1．教学问题一：将物理问题转化为数学问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：从日常中经常遇到的实际问题入手，结合具体体验，完成建立数学模型的过程.

2．教学问题二：如何用数学模型解释问题中所反映的物理现象是本节课的第二个教学问题．解决方案： 借助信息技术工具，将数学模型还原成物理问题，解释物理现象.

基于上述情况，本节课的教学难点定为：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．

四、教学策略分析

高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）

《数学》必会基础题型——《平面向量》

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。

8.三角形法则：

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b

a b +=+

13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||

a b a b θ?=? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。