高中数学必修5教案 2.5等比数例的前n项和

1 课题: §2.5.1等比数列的前n项和（1）教案

教材分析：

本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

●教学重点

等比数列的前n项和公式推导

●教学难点

灵活应用公式解决有关问题

学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。

●教学过程

一.课题导入

[创设情境]

[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”

二.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

等比数列的前n项和公式：

当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

当已知1a, q, n 时用公式①；当已知1a, q, na时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列naaaa,,321它的前n项和是

nSnaaaa321

由11321nnnnqaaaaaaS

得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111

2 nnqaaSq11)1(

论同上）∴当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，qaaaaaann12312

根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132

即 qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa

＝11nqSa＝)(1nnaSqa

qaaSqnn1)1(（结论同上）

[解决问题]

有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由11,2,64aqn可得

1(1)1nnaqSq=641(12)12=6421。

6421这个数很大，超过了191.8410。国王不能实现他的诺言。

三 例题讲解

例1．求下列等比数列的各项的和：

（1）11111,,,,24816； （2）127,9,3,,.243L

选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．

答案：（1）3116；（2）4921.243

3 例2．已知公比为12的等比数列的前5项和为318，求这个数列的1a及5.a

选题目的：逆向应用公式．

答案：12a，51.8a

例3．已知等比数列11,,1,93L，求使得nS大于100的最小的n的值.

选题目的：综合应用公式．

答案：使得nS大于100的最小的n的值为7.

例4．设数列{}na的前n项和为3nnSa．当常数a满足什么条件时，{}na才是等比数列？

选题目的：沟通na与nS的关系，灵活应用公式．

答案：1a

四． 反思总结，当堂检测。：课本66页练习

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

五．课后小结

等比数列求和公式：当q=1时，1naSn 当1q时，qqaaSnn11

或qqaSnn1)1(1

六． 教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

●板书设计：略

2.5.1等比数列的前n项和（1）学案

4 课前预习学案

一．预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路

二 预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。. 三、

提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

一．学习目标: 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．；

学习重、难点：1．等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；

2．灵活应用公式解决有关问题。

二．学习过程：1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质．

（

2.探究：已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式．

一种推导思想:错位相减，Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．

在 等号两边乘以q，得

qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn． 将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，

． 得(1－q)Sn=a1－a1qn．

∴当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

还有没有其他都推导方法？

三． 反思总结：

四 当堂检测：（1）求等比数列12，14，18，…的前8项的和；

（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。

课后练习与提高：

选择题：

1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )

A 33 B 72 C 84 D 189

5 2． 等比数列na中, ,243,952aa则na的前4项和为（ ）

A. 81 B. 120 C. 168 D. 192

3．在公比为整数的等比数列na中，如果,12,183241aaaa那么该数列的前8项之和为（ ）

A. 513 B. 512 C. 510 D.

8225

二．填空题：

1. 已知：a1=2，S3=26．则q=----------

2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为------

三解答题：

设数列1()nnaa(0)a，求这个数列的前n项和。

参考答案: 当堂检测

6 2.5.2等比数列的前n项和(2)教案

教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思

教学目标：

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的qnaaSnn,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式

●教学难点

灵活使用公式解决问题

学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。

●教学过程

一.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：

当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

当已知1a, q, n 时用公式①；当已知1a, q, na时，用公式②

二.讲授新课

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，

求证：)SS(SSSn3n2n2n22n

2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；

（

三．例题讲解

例1已知等比数列na中, 4820,1640SS,求12S.

设问1:能否根据条件求1a和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定)

设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系)

设问3:若题变: 数列na是等比数列,且2,,(0)nnSaSbab求3nS

7 222322,()()nnnnnnnnnSSbabaaabbqSSSSqbbaSaaa

引导学生归纳:若na是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为nS,公比为nq的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)

[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量1,aq然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.

例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货款的31，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%

到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.

每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

引导学生,认真阅读题目,理解题意,

月底等额还款,即每月末还款数一样，

月底还款后的欠款数iy与第i-1个月底还款后的欠款数1iy的关系是第1(10.05%)iiyya,(学生分析)

三年内还清转化为数学语言是: 360y

解(1)因为购买电脑时,货主欠商店32的货款,即600032=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.

(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有

y1=4000(1+0.5%)-a

y2=y1(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a

y3=y2(1+0.5%)-a

y3=y2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a