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导学案1：1.1.1正弦定理

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汶上圣泽中学高效课堂导学案 年级学科：高一数学必修五
编制人 马玉芹 审核人：马玉芹 小组： 姓名：

1
§1.1.1 正弦定理

学习目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题之一（已知两角一边的）。
学习重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【课前导学】
一 、正弦定理的探究与证明

1．在直角三角形中，sinA=cac= ，sinB=cbc= .

则CccBbAasinsinsin成立。
2．探究：对于锐角三角形，上述关系式是否仍然成立呢？
在Rt△ABD中，sinB=cAD，则AD= ，在Rt△ACD中，sinC=bAD，则AD= ，

所以，CbBcsinsin，即，CcBbsinsin.
同理，可得，BbAasinsin。因此，对于锐角三角形，上述关系式仍然成立。
3．探究：当△ABC为钝角三角形时，上述关系式是否仍然成立呢？请你说明理由。

结论：正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

)(2sinsinsin为三角形外接圆的半径RRCcBbAa

二、
正弦定理的应用：

1．阅读课本P3页，回答问题：
①把 叫做三角形的元素；
② 的过程叫做解三角形.
2．正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
①__________________________________________________________；
②__________________________________________________________。
【课内探究】
例1、已知△ABC中，=10=45C=30cA，，， 求ab、和B.

例2、已知△ABC中，=3=60c=1bB，，， 求aA、和C.
汶上圣泽中学高效课堂导学案 年级学科：高一数学必修五
编制人 马玉芹 审核人：马玉芹 小组： 姓名：

2
变式：在△ABC中，=6=45=2cAa，，， 求bB、和C.

【总结提升】
1、正弦定理的常用变形： （1）sinsinaAbB，sinsinbBcC，sinsincCaA；
（2）::sin:sin:sinabcABC； （3）2sinaRA，2sinbRB，2sincRC.
2、正弦定理可解决的两类三角形：（1）已知两角一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边所对的角，求另一边的对角.
（注意：其中第（2）类情形解三角形时，分为一解、二解和无解三种情况）
【反馈检测】
1、在△ABC中，（1）若sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc_____________；

（2）若160,sinB2A，则角B的大小为_________；

（3）若230,sinB2A，则角B的大小为_________.
2、已知△ABC中，30,603ABb，，则a（ ）
A、3 B、1 C、2 D、12
*3、分别根据下列条件，判断△ABC解的个数的情况：
（1）=30=25=150abA，，；( ) （2）=14=7=30abB，，； ( )

（3）=10=9=60abB，，； ( ) （4）=52=10=60abA，，. ( )
4、在△ABC中，已知=10=60=45aBC，，，求Abc、、.

5、在△ABC中，（1）已知=2=6=60acC，，，求ABb、及；(2) 已知
=2=23=30bcB，，
，
求CaA、及；*（3）已知=6=9=45bcB，，，求CaA、及.

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(完整)1.1.1正弦定理(用)

(完整)1.1.1正弦定理(用)

（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C

abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2

k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA

sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理


已知两角和任意一边， 已知两角和任意一边， 求其他两边和一角 。 。 【例 1】 在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知 ＝75，C＝60，AC＝100，求 中 已知A＝ ， ＝ ， ＝ ， B AB． ． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
1.1.1正弦定理

1.1.1正弦定理

（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 3 75°或15° B＝_____________. ，则
B
CBD 90, C C c sin C sin C 2R
c O
a
C
c A b 2R sin C a b 同理， 2 R, 2R sin A sin B C/ a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它 所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
2R
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;


b sin A 3 sin 45 = = 2 ∴ a sin B sin 60
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
a b 解： ∵ sin A sin B
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
a
B
c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin C
b c 由正弦定理 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
1.1 正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（一）预习导学【学习目标】1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2、能运用正统定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。

【知识链接】下列说法中，正确的有 。

（1）在直角三角形中，若C 为直角，则sinA=ca;（2）在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B ； （3）在△ABC 中，C=л―A ―B（4）利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等；（5）在△ABC 中，若sinB=22，则B=4 ；【预习引导】1、在Rt △ABC 中的有关定理 在Rt △ABC 中，C=90°，则有：（1）A+B= ，0°＜A ＜90°，0°＜B ＜90°； （2）a 2+b 2= （勾股定理）；（3）A a sin = ； B b sin ＝ ； C csin = ；2、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，这个比值是三角形外接圆的 。

3、解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的 。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 。

课堂讲义要点一 正弦定理的推导与证明 例1 在锐角△ABC 中，根据右图证明：A a sin =B b sin =Cc sin 。

规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：（1）A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =C csin 。

（2）b a =B A sin sin ，c a =C A sin sin ，c b =CB sin sin 。

（3）asinB=bsinA ，asinC=csinA ，bsinC=csinB 。

（4）a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。

跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明A a sin =B b sin =Ccsin 仍然成立？要点二 已知两角及一边角三角形例2 （1）已知△ABC 中，a=20，A=30°，C=45°，求B ，b ，c 。