概率论与数理统计第四章测试题
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第4章 随机变量的数字特征
一、选择题
1.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
2.若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =,则以下结论正确的是( )
(A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3.设随机变量X 和Y 相互独立,且()()22
1122,,,X
N Y N μσμσ,
则2Z X Y =+( ) (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()
22
1212,N μμσσ++
(C) ()
2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--
4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为
(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2
(C) E(X 2)= E(Y 2)
(D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)2
5.设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ,则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =( ) (A)
(B) 0 (C) (D) 6.设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量,则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦( )
(A)
2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4
θ
7.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y ( )
(A) 不相关的充分条件,但不是必要条件 (B) 独立的充分条件,但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8.若离散型随机变量X 的分布列为(){
}
()1
12
1,2,2
n
n
n P X n =-⋅=
=,
则()E X =( ) (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在
9.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于
(A )-1 (B )0 (C )2
1 (D )1
10.设随机变量X 和Y 独立同分布,具有方差2
σ>0,则随机变量U=X+Y 和V=X-Y (A )独立 (B) 不独立 (C ) 相关 (D) 不相关
11.随机变量X 的方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C ,必有 。 (A )E(X-C)2
=E(X 2
)-C 2
(B )E(X-C)2
=E(X-μ)2
(C )E(X-C)2
< E(X-μ)2
(D )E(X-C)2
≥ E(X-μ)2
12.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=
3
1
, 则P(1 1 (C )31 (D )21 二、填空题 1.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,则 ()2E X = 2.设一次试验成功的概率为p ,进行了100次独立重复试验,当p = 时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为 3.设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量10 0010X Y X X >⎧⎪ = =⎨⎪- <⎩ ,则Y 的方差 DY= 4.()4D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则()D X Y -= ,()D X Y += 5.设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布,且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦,则 λ= 6.设(X,Y)的概率分布为: 则),cov(2 2 Y X = 。 7.已知)3,2,1(,)(== =k k a k X P , 则E(X)= 。 8.X~N (μ ,σ2),Y~N (μ,σ2),X 与Y 相互独立, 则Cov(X+Y , X-Y) =________。 9.随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X 1-X 2+2X 3 ,则 E(X)=___________,D(X)= 。 10.设ρXY =0.9,Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为 。 11.设随机变量X ij 独立同分布,EX ij =2,则行列式 nn n n n n X X X X X X X X X Y 21 2222111211 = 的数学期望EY= 。 三、简答题 1.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5。设X 为同种遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。 2.已知随机变量(),X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 分别服从正态分布2 (1,3)N 与 2(0,4)N ,它们的相关系数12XY ρ=-,令32 X Y Z =+,⑴求Z 的数学期望EZ 与方差DZ (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ。 3.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)乙箱中次品数X 的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 4.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处,且X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间Y 的数学期望。 5.一商店经销某种商品,每周进货的数量X 与顾客对某种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了供货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 6.两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率