2 机电控制工程数学基础
本章主要内容、基本要求、重点和难点 主要内容
(1) 复数及复数表示方法，复变函数概念。 (2) 初等函数定义，复变函数的导数。 (3) 复变函数积分，计算方法。 (4) 罗朗级数、留数定理。
(5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。 基本要求
(1) 了解复变量的表示方法，复变函数的概念，会计算留数。
(2) 了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。 (3) 了解拉氏变换性质及其应用。 (4) 会用部分分式法，求拉氏反变换。 重点：复变函数表示方法；拉氏变换的定义；用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换；拉氏变换性质及应用，用部分分式法求拉氏反变换。
难点：
(1) 建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数，其优点是将微分方程变换为代数方程，使对系统的分析、综合方便。
(2) 拉氏变换性质的应用。
学习本章时，一般了解复变函数概念，复数表示方法；了解拉氏变换定义及其性质的推导过程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。
2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念
在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程
012=+x
是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定
12-=j
从而j 是方程012
=+x 的一个根。 对于任意二实数x,y 我们称jy x z +=为复数，其中x,y 分别称为z 的实部和虚部，记
作
)()(z I y z R x m e ==
当x=0 时, jy z =称为纯虚数;当y=0时, j x z 0+=,这时z 就是实数。
要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。
(2) 复数的代数运算
两个复数111jy x z +=，222jy x z +=
1) 加减法的定义：
)()()()(21212211y y j x x jy x jy x ±+±=+±+
2) 乘法的定义
)()())((211221212211y x y x j y y x x jy x jy x ++-=++
3) 除法的定义
设 0222≠+=jy x z
2
2
222
212222*********y x y x y x j y x y y x x jy x jy x +-+++=++ 复数的运算和实数的情形一样，也满足交换律、结合律和分配律。
4) 共轭复数
实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数，与z 共轭的复数记作z 。如果jy x z +=则jy x z -=。
(3) 复数的几种表示法
1）点表示法，由于任一复数jy x z +=与一对实数x,y 成一一对应，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数jy x z +=可以用坐标为(x,y)的点来表示，这是一个常用的表示法，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或Z 平面，这样，复数与复平面上的点成一一对应。
2）向量表示法或极坐标表示法。向量表示法即用从坐标原点指向点(x,y)的向量表示，如图２－１－１所示。向量的长度称为Z 的模或绝对值，记作
图
22y x r z +=
=
在z ≠0的情况，向量与x 轴的夹角θ称为z 的相角，记作
θθ===∠-z Arg x
y tg z 或1
θ角逆时针为正，顺时针为负。
任何一个复数z ≠0有无穷多个相角，如果θ1是其中的一个，那么
为任意整数）Ａk k
z rg (21πθ+=
就给出了z 的全部相角。在z ≠0的相角中，我们把满足–π＜θ1≤π的θ1称Arg z 的主值。
3）三角表示法和指数表示法。复数的直角坐标与极坐标的关系如下： θθsin ,cos r y r x ==
复数z 可以表示为
该式称为复数的三角表示法。
再利用欧拉公式θθθ
sin cos j e
j +=,又可得
)exp(θθ
θj z z e z re z j j ===或者
这种形式称为复数的指数表示法
复数的各种表示法可以相互转换，以适应不同问题时的讨论。
例 将j z 212--=化为三角表示式和指数表示式。 解：
3
31224
412=
--===+==x y tg z r θ
由于z 在第三象限，所以 πθ6
5
-= z 的三角表示式是
)
6
5
sin 65(cos 4)65sin()65cos(4ππππj j z -=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
-+-= z 的指数表示式是 π6
54j e
z -=
例 求复数j
z 211
+=
的实部、虚部、模值与相角。
解： j j j j j z 5
2
51)21)(21(21211-=-+-=+=
︒
-=-=-
===
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
==--43.6325
152447.05552515
2
)(,51)(112
2tg tg r z I z R m e θ （4）关于模与相角定理
1）乘积：设有两个复数 21
2211,θθj j e r z e
r z ==
