概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案

1 OF 18 习题2.1 1. 设随机变量X的分布律为P{X=k}=aN,k=1, 2,N,求常数a. 解:由分布律的性质∑pk∞k=1=1得 P(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1

N*aN=1, 即a=1

2. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为12c, 34c,58c,716c,求常数c. 解: 12c+34c+58c+716c=1

C=3716

3. 将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.

注: 可知X为从2到12的所有整数值． 可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故 P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1) P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1)) P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)) P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)) P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)) P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧) P(X=8)=5*(1/36)＝5/36 P(X=9)=4*(1/36)＝1/9 P(X=10)=3*(1/36)＝1/12 P(X=11)=2*(1/36)＝1/18 P(X=12)=1*(1/36)＝1/36 以上是X的分布律

投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了. P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值 P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值 P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值 P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值 P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值 P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6 以上是Y的分布律了. 2 OF 18

4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律. 解:X=0,1,2

X=0时,P=C133C153=2235

X=1时,P=C132∗C21C153=1235

X=2时,P=C130∗C22C153=135

5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为23,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律. 解:P{X=k}=C8k(23)k(13)8−k, k=1, 2, 3, 8

6. 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 2 3

P 14 12 1

4

求P{X≤12},P{232},P{2≤X≤3},P{2≤X<3}

解: P{X≤12}=14 P{23P{2≤X≤3}=12+14=34 P{2≤X<3}=12

7. 设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,求: (1) 进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率; (2) 进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率. 解:设X为事件A发生的次数, (1) P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}

=C53(0.3)3(0.7)2+C54(0.3)4(0.7)1+C55(0.3)5(0.7)0 =0.1323+0.02835+0.00243=0.163 3 OF 18

(2) P{X≥3}=1−P{X=0}−P{X=1}−P{X=2} =1−C70(0.3)0(0.7)7−C71(0.3)1(0.7)6−C72(0.3)2(0.7)5 =1−0.0824−0.2471−0.3177=0.353

8. 甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率. 解:设X表示各自投中的次数 P{X=0}=C30(0.6)0(0.4)3∗C30(0.7)0(0.3)3=0.064∗0.027=0.002 P{X=1}=C31(0.6)1(0.4)2∗C31(0.7)1(0.3)2=0.288∗0.189=0.054 P{X=2}=C32(0.6)2(0.4)1∗C32(0.7)2(0.3)1=0.432∗0.441=0.191 P{X=3}=C33(0.6)3(0.4)0∗C3

3(0.7)3(0.3)0=0.216∗0.343=0.074

投中次数相等的概率= P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.321

9. 有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算) 解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算λ=1000*0.0001=0.1 P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}

=1−C10000(0.0001)0(0.9999)1000−C10001(0.0001)1(0.9999)999 =1−e−0.1−0.1e−0.1=1−0.9048−0.0905=0.0047

10. 一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求: (1) 每分钟恰有8次呼唤的概率; (2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率. 解: (1) P{X=8}=P{X≥8}−P{X≥9}=0.051134−0.021363=0.029771 (2) P{X>10}=P{X≥11}=0.002840

习题2.2 1. 求0-1分布的分布函数.

解:F(x)={0,x<0q,0≤x<11,x≥1

2. 设离散型随机变量X的分布律为: X -1 2 3 P 0.25 0.5 0.25 求X的分布函数,以及概率P{1.5<𝑋≤2.5}, P{X≥0.5}. 解:當x<−1時,F(x)=P{X≤x}=0; 當−1≤x<2時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}=0.25; 當2≤x<3時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=2}=0.25+0.5=0.75; 當x≥3時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=2}+P{X=3}=0.25+0.5+0.25=1; 4 OF 18

则X的分布函数F(x)为: F(x)={0,𝑥<−10.25,−1≤x<20.75, 2≤x<31, x≥3

P{1.5<𝑋≤2.5}=F(2.5)−F(1.5)=0.75−0.25=0.5 P{X≥0.5}=1−F(0.5)=1−0.25=0.75

3. 设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1. 证: F(+∞)=aF(+∞)−bF(+∞)=1,即a−b=1

4. 如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数: (1) F1(x)={0,𝑥<−212,−2≤x<02, x≥0

(2) F2(x)={0,𝑥<0sinx,0≤x(3) F3(x)={0,𝑥<0sinx,0≤x(4) F4(x)={0,𝑥<0x+13,0<𝑥<121, x≥12 5. 设随机变量X的分布函数为 F(x) =a+barctanx,−∞<𝑥<+∞, 求(1)常数a,b; (2) P{−1<𝑋≤1} 解: (1)由分布函数的基本性质F(−∞)=0,F(+∞)=1 得:

{a+b∗(−π2)=0a+b∗(π2)=1

解之a=12, b=1π (2)P{−1<𝑋≤1}=F(1)−F(−1)=a+b∗π4−(a+b∗−π4)=b∗π2=12 (将x=1带入F(x) =a+barctanx)注: arctan为反正切函数,值域(−π2,π2), arctan1= π4 5 OF 18

6. 设随机变量X的分布函数为 F(x)={0,𝑥<1lnx,1≤x<𝑒1, x≥e

求P{X≤2},P{0<𝑋≤3},P{2<𝑋≤2.5} 解: P{X≤2}=F(2)=ln2 注: F(x)=P{X≤x} P{0<𝑋≤3}=F(3)−F(0)=1−0=1;

P{2<𝑋≤2.5}=F(2.5)−F(2)=ln2.5−ln2=ln𝟐.𝟓𝟐=ln1.25

习题2.3 1. 设随机变量X的概率密度为:

f(x)={acosx,|x|≤π20, 其他.

求: (1)常数a; (2)P{0<𝑋<π4}; (3)X的分布函数F(x).

解: (1)由概率密度的性质∫f(x)dx=1,+∞−∞

∫acosxdx=asinx|π2−π2π2−π2=asinπ2−asin(−π2)=asinπ2+asinπ2=a+a=1 A=12 (2) P{0<𝑋一些常用特殊角的三角函数值 正弦 余弦 正切 余切 0 0 1 0 不存在

π/6 1/2 √3/2 √3/3 √3 π/4 √2/2 √2/2 1 1 π/3 √3/2 1/2 √3 √3/3 π/2 1 0 不存在 0 π 0 -1 0 不存在