信号与系统课后习题答案—第1章
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第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些就是连续信号？哪些就是离散信号？哪些就是周期信号？哪些就是非周期信号？哪些就是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a）、（c）、（d）； ② 离散信号：图（b）； ③ 周期信号：图（d）；麥銚擻櫝淚峡鎵。
④ 非周期信号：图（a）、（b）、（c）； ⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。 1－2 已知某系统得输入f(t)与输出y(t)得关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统就是否为线性时不变系统。镇鎊敛鋒鐃諧凄。
解： 设T为此系统得运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统得线性与时不变性。匮页啞
枢鶘綻铊。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则 y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而鳩铳遠葱閡橼励。
|f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)| 即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。浆碜邺谱洼
討荣。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统就是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a为任一常数）騸繃铂鳝琐塒誚。
即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。
逦拥馭睪飪兑滌。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|，扬鮪砻蛳铌譙貢。
即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统得性质：
)()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()()(2''''''''0tftytydtftyttytyctftftytytybdxxfdttdftyat
解：（a）① 线性 1）可加性
由 tdxxfdttdfty0)()()(可得tttytfdxxfdttdftytytfdxxfdttdfty01122011111)()()()()()()()()()(即即 则
tttdxxfxftftfdtddxxfdttdfdxxfdttdftyty0212102201121)]()([)]()([)()()()()()(
即在)()()()()()()()(21212211tytytftftytftytf＋＋前提下，有、，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(tytf即tdxxfdttdfty0)()()(，设a为任一常数，可得
)(])()([)()()]([)]([000taydxxfdttdfadxxfadttdfadxxaftafdtdttt 即)()(taytaf，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。 ② 时不变性 )()(tytf 具体表现为：tdxxfdttdfty0)()()(
将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0得常数），
即 tdxtxfdtttdftty0000)()()(
设0tx，则ddx，因此00)()()(00tttdfdtttdftty 也可写成00)()()(00tttdxxfdtttdftty， 只有f(t)在t=0时接入系统，才存在)()(00ttyttf，当f(t)在t≠0时接入系统， 不存在)()(00ttyttf，因此，此系统为一时变系统。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （b）① 线性 1）可加性
在由)2()()(3)(2)(''''tftftytyty规定得)()(tytf对应关系得前提下，可得
)]2()2([)]()([)]()([3)]()([2)]()([)2()()(3)(2)()2()()(3)(2)(21'2121'21''212'22'2''21'11'1''1tftftftftytytytytytytftftytytytftftytyty
即由)()()()()()()()(21212211tytytftftytftytf＋＋可推出，系统满足可加性。 2）齐次性 由)()(tytf，即)2()()(3)(2)(''''tftftytyty，两边同时乘以常数a，有
)]2([)]([)]([3)]([2)]([)]2()([)](3)(2)([''''''''taftaftaytaytaytftfatytytya
即)()(taytaf，因此，系统具备齐次性。 由1）、2）可判定此系统为一线性系统。 ② 时不变性
分别将)()(00ttftty和（t0为大于0得常数）代入方程
)2()()(3)(2)(''''tftftytyty 左右两边，则
左边＝)(3)(2)(00202ttydtttdydtttyd )(3)()(2)]()([)()2()(00000000ttyttyttddttyttddttddttfdtttdf右边＝ 而 ，)()()(000ttydtdttyttdd )()]()([)(022000ttydtdttyttddttdd 所以，右边＝)(3)(2)(00202ttydtttdydtttyd＝左边，故系统具备时不变特性。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。 （c）① 线性 1）可加性
在由式)(3)(2)(2)('''tftyttyty规定得)()(tytf对应关系得前提下，可得
)]()([3)]()([2)]()([2)]()([)(3)(3)(2)(2)(2)(2)()()(3)(2)(2)()(3)(2)(2)(2121'21''212121'2'1''2''122'2''211'1''1tftftytytytyttytytftftytyttyttytytytftyttytytftyttyty＋＋＋＋＋＋两式相加
即在)()()()(2211tytftytf、得前提下，有式)()()()(2121tytytftf存在，即系统满足可加性。 2）齐次性
由)()(tytf，即)(3)(2)(2)('''tftyttyty，两边同时乘以常数a，有
)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''taftaytayttaytaftaytatytay，
即有 )()(taytaf，因此，系统具备齐次性。 依据上述1）、2），此系统为一线性系统。 ② 时不变性
分别将)()(00ttftty和 （t0为大于0得常数）代入方程)(3)(2)(2)('''tftyttyty 左右两边，则
)(2)(2)(00022ttyttydtdtttydtd左边＝
右边＝右边＝)(2)()(2)()(2)()()(2)()()(3000022000002020ttyttydtdttttydt
d
ttyttyttddttttyttddttf
因此，系统就是时变得。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （d）① 线性 1）可加性
在由式)()()]([2'tftyty规定得)()(tytf对应关系得前提下，可得 )()()()()]([)]([)()()]([)()()]([21212'22'1222'2112'1tftftytytytytftytytftyty
两式相加
而不就是：)]()([)]()([})]'()({[2121221tftftytytyty 即在)()()()(2211tytftytf、得前提下，并不存在)()()()(2121tytytftf 因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面得齐次性判定过程可省略） 2）齐次性
由)()(tytf，即)()()]([2'tftyty，两边同时乘以常数a，有
)()()]([2'taftaytya，即式)]([)]([})]({[2'taftaytay不成立，不存在)()(taytaf
因此，系统也不具备齐次性。 单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变性
分别将)()(00ttftty和 （t0为大于0得常数）代入方程)()()]([2'tftyty 左右两边，则
)()]([020ttyttydtd左边＝
右边＝右边＝)(])([)(])()([)(02002000ttydtttdyttyttdttdyttf 即以式)()()]([2'tftyty规定得)()(tytf关系为前提，存在)()(00ttyttf 因此，系统就是非时变得。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。
1－4 试证明方程)()()('tftayty所描述得系统为线性系统。 [提示：根据线性得定义，证明满足可加性与齐次性。] 证明：1）证明齐次性
满足齐次性即即两边同乘任意常数)()()()]([)]([)()]()([)()()('''tbytbftbftbyatbytbftaytybtftaytyb
2）证明可加性
满足可加性即即相加)()()()()()()]()([)]()([)()()()()()()()()()()()()()()(21212121'21212'21'122'211'1'tytytftftftftytyatytytftftaytytaytytftaytytftaytytftayty
