数学(理)专家讲坛 数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题
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数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题 一、三角函数中的数学思想 1．数形结合思想 体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程解的个数、比较大小等．
[例1] sin 25π，cos 65π，tan 75π从小到大的顺序是________．
[解析] 设a＝sin25π，b＝cos 65π，c＝tan 75π，如图所示．
可知b<0∴cos 65π5π.
[答案] cos 65π5π
[点评]本题中所涉及的角都不是特殊角，求出值来再比较大小很不方便，而利用单位圆上的三角函数线则很容易将它们各自函数值的大小区分出来．
[例2] 当0≤x≤1时，不等式sin πx2≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________． [解析] 作出y1＝sinπx2与y2＝kx的图象，要使不等式sin πx2≥kx成立，由图可知，需k≤1. [答案] (－∞，1]
[点评] 本题将不等式转化成两个函数图象的位置关系，当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，即当0≤x≤1时，函数y＝sinπx2的图象在函数y＝kx的上方，作出两函数图象后比较即可轻易得出k≤1. 2．化归与转化思想 化归与转化思想体现在三角函数中，主要是利用切化弦、统一角、统一函数名、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题．
[例3] 已知sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝2，试求sin2β＋2cos 2α的值．
[解] 由sin2α＋βsin α＝sin[α＋α＋β]sin α＝sin αcosα＋β＋cos αsinα＋βsin α＝cos(α＋β)＋cos αsinα＋βsin α，
则条件转化为cos αsinα＋βsin α－cos (α＋β)＝2⇒cos αsinα＋β－sin αcosα＋βsin α＝2⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α⇒sin β＝2sin α， 所以sin2β＋2cos 2α＝4sin2α＋2(1－2sin2 α)＝2. [点评] 本题的关键是要化简已知条件，用两角和与差的正、余弦公式化简条件，得到sin β＝2sin α，再代入所求式子． 3．函数与方程思想 体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想求值、证明等问题．
[例4] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)设0的和．
[解] (1)所求的函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.
(2)在同一坐标系中画出y＝2sin 2x＋π6(0图象，如图所示，由图可知，当－2线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，所以m的取值范围为－21
当－2[点评] 本题将方程的根的问题转化成两个函数图象交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解．从函数图象上可以清楚地看出当－2线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，这也体现了函数与方程思想的具体应用． 4．分类讨论思想 体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论． [例5] 已知a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，k)，c＝(－2cos x，sin x－k)．
(1)若f(x)＝a·(b＋c)，求f(x)的最小正周期及方程f(x)＝12的解集；
(2)若g(x)＝(a＋b) ·c，求当k为何值时，g(x)的最小值为－32. [解] (1)b＋c＝(sin x－2cos x，sin x)， f(x)＝a ·(b＋c)＝sin x(sin x－2cos x)＋cos xsin x＝sin2 x－sin xcos x
＝1－cos 2x2－12sin 2x＝12－12(sin 2x＋cos 2x)
＝12－22sin 2x＋π4， 所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.由f(x)＝12，得12－22sin 2x＋π4＝12，所以sin
2x＋
π
4
＝0.
所以2x＋π4＝kπ(k∈Z)．所以x＝kπ2－π8(k∈Z)．
所以方程f(x)＝12的解集为x x＝kπ2－π8k∈Z. (2)a＋b＝(2sin x，cos x＋k)， g(x)＝(a＋b)·c＝－4sin xcos x＋(cos x＋k)(sin x－k)＝－3sin xcos x＋k(sin x－cos x)－k2.
令t＝sin x－cos x＝2sinx－π4， 则t∈[－2，2 ]，且t2＝sin2x＋cos2 x－2sin xcos x＝1－2sin xcos x， 所以sin xcos x＝1－t22.
所以g(x)可化为h(t)＝(－3)·1－t22＋kt－k2＝32t2＋kt－k2－32，t∈[－2，2]， 对称轴t＝－k2×32＝－k3.
①当－k3<－2，即k>32时， g(x)min＝h(－2)＝32×(－2)2＋k(－2)－k2－32＝－k2－2k＋32， 由－k2－2k＋32＝－32，得k2＋2k－3＝0.所以k＝－2±142.因为k>32，所以此时无解． ②当－2≤－k3≤ 2，即－32≤k≤32时， g(x)min＝h－k3＝32·－k32＋k－k3－k2－32＝－76k2－32. 由－76k2－32＝－32，得k＝0∈[－32，32 ]． ③当－k3> 2，即k<－32时， g(x)min＝h(2)＝32·(2)2＋2k－k2－32＝－k2＋2k＋32. 由－k2＋2k＋32＝－32，得k2－2k－3＝0， 所以k＝2±142. 因为k<－32，所以此时无解． 综上所述，当k＝0时，g(x)的最小值为－32. [点评] 本题是一种典型的三角函数求最值的题型，通过换元将三角问题转化成我们熟知的二次函数求最值问题，然后根据对称轴与自变量的位置关系进行分类讨论． 5．整体思想 整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数的性质等．
[例6] 已知α∈π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cos β的值．
[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π232.
(2)因为π2所以－π<－β<－π2，故－π2由sin(α－β)＝－35，得cos (α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×－35＝－43＋310. [点评] 本题第(2)问求解的关键是整体运用已知角(α－β)和角α来表示角β，即β＝α－(α－β)，这样可以直接利用已知条件求解． 数学思想较多，除了以上几种外，还有类比等数学思想，只要大家认真思考，灵活运用，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果． 二、巧用三角函数的性质求参数 1．根据三角函数的奇偶性求解参数 [例1] 已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )
A.π6 B.π3 C．－π6 D．－π3 [解析] f(x)＝ 212cos3x＋φ－32sin3x＋φ ＝2cos3x＋φ＋π3＝2cos3x＋φ＋π3，则由f(－x)＝f(x)恒成立，得2cos－3x＋φ＋π3＝2cos3x＋φ＋π3恒成立，利用两角和的余弦公式展开并整理，得sin(3x)sinφ＋π3＝0恒成立，而x∈R，故sinφ＋π3＝0恒成立，由所给选项，只有D适合． [答案] D [点评] 求解三角函数的奇偶性的参数问题还可利用下列结论进行简解：函数y＝
Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)且B＝0，为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． [例2] 已知存在实数ω，φ(其中ω≠0，ω∈Z)使得函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)是奇函数，且在0，π4上是增函数，试求出所有符合题意的ω与φ的值． [解] 由f(x)为奇函数，知f(－x)＝－f(x)， ∴2cos (－ωx＋φ)＝－2cos(ωx＋φ)． ∴4cos ωx·cos φ＝0.又x∈R，∴cos φ＝0.
解得φ＝kπ＋π2，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，f(x)＝2cos ωx＋2nπ＋π2＝2sin (－ωx)为奇函数，∵f(x)在0，π4上是增函数，∴ω<0.由－π2≤－ωx≤π2⇒π2ω≤x≤－π2ω，又f(x)在0，π4上是增函数，故有
0，
π
4
