全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程习题理
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第2节 参数方程
【选题明细表】
知识点、方法 题号
参数方程与普通方程的互化
1
参数方程及其应用 3
极坐标方程与参数方程的综合应用
2,4
1.(2016·山西太原三模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),
C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:ρ(cos θ-2sin
θ)=7距离的最小值.
解:(1)曲线C1:(t为参数)化为普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,
所以C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
C2:(θ为参数)化为普通方程为+=1.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的
椭圆.
(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),
故M(-2+4cos θ,2+sin θ),
直线C3:ρ(cos θ-2sin θ)=7化为x-2y=7,
M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5sin(θ+φ)+13|,
从而当cos θ=,sin θ=-时,d取得最小值.
2.(2016·贵州贵阳二模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=-,A,B两点的极坐标分别为A(2,),B(2,π).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最小值.
解:(1)由化简得
消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2,
所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.
由ρcos(θ+)=-,化简得ρcos θ-ρsin θ=-,
即ρcos θ-ρsin θ=-2,
即x-y+2=0,
即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
(2)将A(2,),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(-2,0),
显然点A,B在直线l上,
|AB|==2.
设P点的坐标为(-5+cos t,3+sin t),
所以P点到直线l的距离为
d=
=.
所以dmin==2.
则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4.
为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单
位长度).
(1)写出曲线C的直角坐标方程;
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.
解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=4cos θ化为ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2=4x即为所求直角坐标方程.
(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sin α+cos α)t+4=0,
由Δ=16(sin α+cos α)2-16>0得sin αcos α>0.
又α∈[0,π),
所以α∈(0,),
所以t1+t2=-4(sin α+cos α),t1t2=4.
所以t1<0,t2<0.
所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin α+cos α)
=4sin (α+),
由α∈(0,)可得(α+)∈(,),
所以 所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4]. 原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l1的极坐标方程为ρsin(θ-)=,直线l2的极坐标方程为θ=,l1与l2的交点为M. (1)判断点M与曲线C的位置关系; (2)点P为曲线C上的任意一点,求|PM|的最大值. 解:(1)法一 由 得ρ=1, 所以l1与l2的交点M的极坐标为(1,). 即点M的直角坐标为(0,1). 又曲线C的普通方程为+y2=1, 且+12=1, 所以点M在曲线C上. 法二 直线l1的直角坐标方程为x-y+1=0, 直线l2的直角坐标方程为x=0. 由得 所以l1与l2的交点M的直角坐标为(0,1), 又曲线C的普通方程为+y2=1. 且+12=1, 所以点M在曲线C上. (2)设点P的坐标为(2cos ,sin ), 所以|PM|2=4cos2+(sin -1)2=-3sin2-2sin +5 =-3(sin +)2+, 当sin =-时,|PM=, 所以|PM|的最大值为.
