5.3.2--各象限角的三角函数值的正负号

各个象限正弦余弦正切的大小 概述及解释说明

1. 引言

1.1 概述

本文旨在探讨各个象限中正弦、余弦和正切的大小，并对其进行解释说明。在数学中，三角函数是研究角度和线段之间关系的重要工具。根据定义，正弦函数表示一个角度所对应的点在单位圆上的y坐标，余弦函数表示该点在单位圆上的x坐标，正切函数则是两者的比值。

1.2 文章结构

本文将分为以下几个部分来全面介绍各个象限正弦、余弦和正切的大小。首先，我们将通过引言部分对文章进行总览。接下来的正文部分将详细阐述各个象限中三角函数值的变化规律。然后，针对每个象限将进一步进行解释说明，并提供示例图表以便更好地理解。最后，在结论部分对所得到的结论进行总结概括。

1.3 目的

本文旨在帮助读者更加深入地认识各个象限中三角函数值之间关系的规律性，并通过具体实例进行说明。了解这些规律不仅有助于数学学习和应用，也能够在实际问题中提供有价值的参考。同时，通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握和应用三角函数知识，提高数学解题的能力。

2. 正文

在三角函数中，正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）是最基础的三个函数。它们可以通过一个给定角度的三角形比例来定义。

2.1 正弦函数

正弦函数在数学中常被用于描述周期性现象，并且在各个象限中都有不同的取值范围。根据单位圆理论，当角度介于0到90度（或0到π/2弧度）之间时，也就是第一象限中，正弦函数的值为非负数。随着角度逐渐增大至180度（或π弧度），即进入第二象限，正弦函数则开始递减并变成负数。当角度继续增大至270度（或3π/2弧度）时，进入第三象限，正弦函数又会回到非负值。最后，在360度（或2π弧度）处回到第四象限并重复前面的模式。

2.2 余弦函数

与正弦函数类似，余弦函数也具有周期性，并在不同象限呈现不同的取值范围。在第一象限中，余弦函数始终为非负值，而在第二象限变成负数。当角度介于180到270度（或π到3π/2弧度）之间时，余弦函数在第三象限中仍然为负数。最后，在第四象限中，余弦函数又回到非负值。

5.3 诱导公式(一)

【课程标准】

(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.

(2)掌握六组诱导公式并能灵活运用．

【新知初探】

知识点

状元随笔 诱导公式一～四的理解

(1)公式一～四中角α是任意角．

(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．

(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：

①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α. [教材解难]

利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

【基础自测】

1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )

A．α一定是锐角

B．0≤α<2π

C．α一定是正角

D．α是使公式有意义的任意角

2．sin 600°的值是( )

A.12 B．－12

C.32 D．－32

3．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )

A．－12 B.12

C．－32 D.32

4．化简：cos－αtan7π＋αsinπ＋α＝________.

【课堂探究】

题型一 给角求值问题[经典例题]

例1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是( )

A.－343 B.343

C．－34 D.34

(2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°.

②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．

5.3 诱导公式

一、诱导公式

1、诱导公式（一~六）

诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，其中kZ

诱导公式二： sin()sin，cos()cos，tan()tan，其中kZ

诱导公式三： sin()sin，cos()cos，tan()tan，其中kZ

诱导公式四：sin()sin，cos()cos，tan()tan，其中kZ

诱导公式五：sincos2，cossin2，其中kZ

诱导公式六：sincos2，cossin2，其中kZ

2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，

意思是说角90k(k为常整数)的三角函数值：

当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；

当k为偶数时，函数名不变，

然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.

3、用诱导公式进行化简时的注意点：

（1）化简后项数尽可能的少；

（2）函数的种类尽可能的少；

（3）分母不含三角函数的符号；

（4）能求值的一定要求值；

（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．

二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1、“负化正”：用公式一或三来转化． 2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

三、利用诱导公式求值与求解解题策略

1、条件求值问题的策略

（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

第4章 三角函数

课题4.2 任意角的三角函数

【教学目标】

1．掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。

2．掌握三角函数的正负号，了解用计算器进行角度与三角函数值转换。

【教学重点】

任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。

【教学难点】

任意角的表示方法。

【教学设计】

首先任意角的正弦、余弦和正切函数，使学生了解任意角相关函数，然后通过表格使学生了解三角函数正负号，并掌握相关知识。

【教学设备】

电脑、投影仪。

【教学时间】

2课时（90 min）。

【教学过程】

环节 教学内容 教师

活动 学生活动 设计意图

新课讲解 一、任意角的正弦、余弦和正切函数

在直角坐标系中，设角是一个任意角，在角的终边上任取一点()Pxy，，则点P到原点的距离为22rxy（0r），如图4-8所示，那么任意角的正弦、余弦和正切可以分别定义为

sincostanyxyrrx，，．

正弦、余弦和正切都是以角为自变量的函数，分别称为角的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的三角函数．

例1 已知角的终边经过点(512)P，，求角的正弦、余弦和正切值．

解 因为5x，12y，22225(12)13rxy，所以

1212sin1313yr，

5cos13xr，

1212tan55yx．

二、三角函数的正负号

讲解

说明

分析

讲解

提问

理解

记忆

理解

讲解任意角的正弦、余弦和正切函数

通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解

1．各象限角的三角函数值的正负号

三角函数值的正负号取决于角终边上点P的坐标()xy，．表4-4中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点()Pxy，的坐标的对应关系．

表4-4

所在象限 点P的坐标

sinyr cosxr tanyx

x y

第一象限    