山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第七编 不等式 7.4 基本不等式(教案)理

用心 爱心 专心 208 高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式 总第34期§7.4

基本不等式:ab≤2ba

基础自测

1.已知a＞0,b＞0，a1+b3=1，则a+2b的最小值为 .

答案 7+26

2.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y∈R+，且x+4y=1,则x·y的最大值是 .

答案 161

3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是 .

答案 4

4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 .

答案 7

5.（2008·江苏，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,xzy2的最小值是 .

答案

3

例题精讲

例1 已知x＞0,y＞0,z＞0.求证：xzxyyzyxzyzx≥8.

证明 ∵x＞0,y＞0,z＞0,∴xy+xz≥xyz2＞0,

yx+yz≥yxz2＞0. zx+zy≥zxy2＞0,

∴xzxyyzyxzyzx≥xyzxyxzyz8=8.（当且仅当x=y=z时等号成立）

例2 （1）已知x＞0,y＞0，且x1+y9=1,求x+y的最小值；

（2）已知x＜45,求函数y=4x-2+541x的最大值；

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解（1）∵x＞0,y＞0,x1+y9=1,∴x+y=(x+y)yx91 =xy+yx9+10≥6+10=16.

当且仅当xy=yx9时，上式等号成立，又x1+y9=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.

用心 爱心 专心 209 （2）∵x＜45,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+541x=-xx45145+3≤-2+3=1,

当且仅当5-4x=x451,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.

(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴y2+x8=1,∴x+y=(x+y)yx28=10+xy8+yx2

=10+2yxxy4≥10+2×2×yxxy4=18,当且仅当xy4=yx,即x=2y时取等号，

又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.

例3某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级

污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建

造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造

单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

解 （1）设污水处理池的宽为x米，则长为x162米.则总造价f(x)=400×xx16222+248×2x+80×162

=1 296x+x1002961+12 960=1 296xx100+12 960≥1 296×2xx100+12 960=38 880（元），

当且仅当x=x100(x＞0),即x=10时取等号.

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.

（2）由限制条件知161620160xx,∴1081≤x≤16.设g(x)=x+x100168110x.

g（x）在168110,上是增函数，∴当x=1081时(此时x162=16), g(x)有最小值，

即f(x)有最小值1 296×818008110+12 960=38 882(元).

∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元.

巩固练习

1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1，求证：a1+b1+c1≥9.

用心 爱心 专心 210 证明 a1+b1+c1= acba+bcba+ccba=3+baab+caac+cbbc

≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=31时取等号.

2.若-4＜x＜1,求22222xxx的最大值.

解 22222xxx=21·1112xx=21111xx=-21111xx

∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,11x＞0.从而111xx≥2

-21111xx≤-1当且仅当-(x-1)= 11x ，即x=2（舍）或x=0时取等号.

即max22222xxx=-1.

3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为y=(a+bv2) vs=sbbvav,v∈（0,c］.

（2）依题意，有s,b,a,v都是正数.因此y=sbbvav≥2sab;

①若ba≤c,则当且仅当v=bvav=ba时,y取到最小值.

②若ba≥c,则y在（0，c］上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.

综上所述，为了使全程运输成本最小，当ba≤c时，行驶速度应该为v=ba；

当ba≥c时，行驶速度应该为v=c.

回顾总结

知识

方法

思想

用心 爱心 专心 211 课后作业

一、填空题

1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围是 .

答案 a≥-5

2. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为. .

答案 23-2

3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为 .

答案 21

4.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a2+b1的最小值是 .

答案 3+22

5.函数y=log2x+logx(2x)的值域是 .

答案 （-∞，-1］∪［3，+∞）

6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.

答案 20

7.（2008·徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 .

答案 27

8.若a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞)，则xa2+yb2≥yxba2,当且仅当xa=yb时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=x2+ x219210,x的最小值为 ，取最小值时x的值为 .

答案 25 51

二、解答题

9.（1）已知0＜x＜34，求x(4-3x)的最大值；

（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.

解 （1）已知0＜x＜34,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=31(3x)(4-3x)≤3122343xx=34

当且仅当3x=4-3x,即x=32时“=”成立.∴当x=32时，x(4-3x）的最大值为34.

（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2x+4y≥

用心 爱心 专心 212 2yx42=2yx22=232=42.

当且仅当3242yxyx，即x=23,y=43时“=”成立.∴当x=23,y=43时，2x+4y的最小值为42.

10.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：

(1)a2+b2≥21; (2)21a+21b≥8; (3)21aa+ 21bb≥225; (4) aa1bb1≥425.

证明 由,ba,abba12 a、b∈（0，+∞），得ab≤21ab≤41ab1≥4.

（当且仅当a=b=21时取等号）

(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×41=21，∴a2+b2≥21.

(2)∵21a+21b≥ab2≥8,∴21a+21b≥8.

(3)由(1)、(2)的结论，知21aa+ 21bb=a2+b2+4+21a+21b≥21+4+8=225,

∴21aa+ 21bb≥225.

(4) aa1bb1=ab+ba+ab+ab1=ab+ba+21abab+2≥2+2212+2=425.

11.设a＞0,b＞0,a+b=1.

（1）证明：ab+ab1≥441;

(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：

a2b2+221ba≥（ ）；a3b3+331ba≥（ ）；

（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.

（1）证明 方法一 ab+ab1≥4414a2b2-17ab+4≥0(4ab-1)(ab-4)≥0.

∵ab=(ab)2≤22ba=41,∴4ab≤1，而又知ab≤41＜4,因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，

故ab+ab1≥441.