高等数学(下册)期末试卷4(附答案)

2012-2013

2

高等数学A2（ B卷）

王军东

2012级相关专业

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1. 20yyy的通解为

2.直线113:141xyzL和直线22:221xyzL的夹角为 .

3．已知函数arctanyzx， 则dz .

4. 设L是圆周221xy，则曲线积分2(21)Lxxds= 。

5. 函数1()fxx展开为1x的幂级数是 .

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.设(,)fxy是连续函数，则00(,)axIdxfxydy(0)a等于（ ）

()A00(,)yadyfxydx ()B0(,)aaydyfxydx

()C0(,)yaadyfxydx ()D00(,)aadyfxydx

2. 函数22(,)fxyxy在点（0，0）处（ ）。

()A偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在

3．下列曲面中，母线平行于y轴的柱面为（ ）

()A2zx ()B2zy ()C22zxy ()D1xyz

4已知幂级数1(1)nnnax在3x处收敛，则该级数在0x处是（ ）。

()A绝对收敛 ()B 条件收敛 ()C发散 ()D敛散性不确定

5．下列级数中属于条件收敛的是：（ ）

)A 1)1()1(nnnn ； )B 12)1(nnn； )C 113)1(nnn ； )D121sin)1(nnn . 课程考试试题 学期 学年

拟题人:

校对人: 拟题学院（系）:

适 用 专 业:

三、计算题（每题8分，共64 分）

1.（8分）已知方程222325xyzz，确定函数(,)zzxy，求zx和zy.

2.（8分）计算二重积分

Dxydxdy其中D是抛物线2yx及直线y=x-2所围的闭区域。

3.（8分）求二重积分22xyDed，其中积分区域D是由圆周224xy 所围的闭区域。

4.（8分）利用格林公式计算曲线积分22()(sin)Lxydxxydy，其中L是沿曲线22yxx由点(0,0)到点(2,0)的一段弧。

5．（8分）求函数22,fxyxy在点1,2处的梯度，并求函数在该点处沿着从点

(1,2)A到点(2,23)B的方向的方向导数。

6．（8分）求曲面22zxy包含在圆柱面222xyx内部部分的面积。

7.（8分）利用高斯公式计算曲面积分2222yzdydzzxdzdxxydxdy，其中是锥面22zxy(01)z的下侧。

8.（8分）求幂级数111nnxn的收敛域及和函数。

四、证明题（共6分）

1.（3分）设0nnab（1,2,3,,n），且级数1nnb收敛，证明级数1nnnab收敛。

2.（3分）设函数z=ln(x+y)，证明2xxz+2yyz=1

拟题学院（系）： 数理学院

适用专业：各专业

2012-2013 学年 2 学期 高等数学A2(B卷) 试题标准答案

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1．12()xeCCx 2.4 3. 221xdyydxxy 4. 3 5.

01(1)nnnx，0,2x.

二、选择题（每小题3分，共15分） B B A A C

三、计算题（共64分）

1 (8分)解：方程222325xyzz两边对x求导，得

2220zzxzxx ，1zxxz ---------------4分

方程222325xyzz两边对x求导，得

6220zzyzyy ，31zyyz -----------8分

2 (8分) 解：画出积分域D -----------2分

2221[]yyDxydxydxdy -----------5分

2222225111[(2)]22yyxydyyyydy

458 - ----------8分

3 (8分)解：画出积分域D ： 02,02r -----------2分

2222200xyDrderdred ----------5分

22120041212(1)2rdedre ----------6分

4(1)e ----------8分 拟 题 人：

书写标准答案人：

4 (8分)解：画出积分曲线L,添加辅助直线段线AO,起点A(2,0) ,终点O(0,0) ,它与L所围成的区域为D. ----------2分

则原式2222()(sin)()(sin)LAOAOxydxxydyxydxxydy---------4分

由格林公式，022[1(1)]Ddxdyxdx

882233 ----------8分

5 (8分)解：2,2ffxyxy

----------2分

所以，((1,2))24ffgradfijijxy ---------4分

向量(1,3)AB，其方向余弦13cos,cos22，所以方向导数

(1,2)(1,2)(1,2)coscos123ffflxy ----------8分

6 (8分)解：画出立体图 ----------2分

包含在圆柱面内部的曲面方程为22zxy，

它在xoy坐标面的投影区域为D: 222xyx

所以曲面面积221xyDSzzdxdy ----------4分

2222221()()Dxydxdyxyxy

21Ddxdy

2 ----------8分

7 (8分)解：画出立体图 ----------2分

做辅助面1:1z，方向向上，则它与已知曲面围成了封闭曲面，由高斯公式，原式=

1122222222222120002xyVDyzdydzzxdzdxxydxdyyzdydzzxdzdxxydxdydxdydzxydxdydd

----------8分

8 (8分)解：1limlim11nnnnanan

1R收敛半径 ----------2分

当1x时，级数成为11(1)nnn，收敛；当1x时，级数成为11nn，发散。

所以收敛域为[1,1)。 ----------4分

令和函数111()nnsxxn，[1,1)x，则

1111111()()11()()1ln(1)xnnnnxxxnnnnsxxxxxdxnnxxdxxxdxxdxnxxx ---------8分

四、证明题（共6分）

1.（3分）证明：由0nnab，得20nnnabb，进而0nnnabb，因为级数1nnb收敛，所以由比较判别法级数1nnnab收敛。 ---------3分

2. （3分）因为11,2()2()zzxyxxyyxy ---------2分

11=222()2()=1=xyxxyyxyyxxyxy所以，左边右边

--------3分