SHANGCHUAN
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问题 1 思考题： （1） 用梯度法（最速下降法）求函数22212121244)(xxxxxxXf的极大点，初始点TX)1,1()0(。 解：取=0.15； (0)()(1,1)TfX
2(0)222()[(1)(1)]2fX
41()12HX
(0)(0)(0)(0)(0)1(1,1)1()()21042411()()()(1,1)121TTfXfXfXHXfX
)1(X=)0(X
0)()0(Xf=1212321111
2(1)222
11
()[()()]0.522fX
(1)(1)(1)(0)(1)0.5(0.5,1.5)1.5()()2.551714410.5()()()(0.5,1.5)121.5TTfXfXfXHXfX
(2)X=(1)X(1)
1()fX
=5140.50.50.67861.51.52.0357
2(2)222()[(0.7501)(0.75)]0.1252fX
（2）二次规划 22221184)(maxxxxxXf 221xx 0,21xx (2.1）用K-T条件求解； 2222112212max()48=-[(2)+(-4)]+20fXxxxxxx
即22
12min g(X)=[(2)+(-4)]xx，求到点(2,4)距离最近的点。可行解在三角区域内，显
然，距离(2,4)最近的点为(0,2)
-1.5-1-0.500.511.522.533.500.511.522.533.54
(2.2) 写出等价的线性规划问题并求解。 这一问题可以用矩阵形式表示为： 111222
10max()(4,8)(,)01xxfXxxxx
12(1,1)2xx
0,21xx 121121
201100402101081100012xxs
最优解(0,2)TX
2 （1）通过软件求解给出案例中“供应与选址问题”的最优解。 （2）试了解研究生数学建模竞赛中的优化问题（例如案例中例子），并叙述求解较复杂优化模型的一些方法。 （1）function f=fun2(x) A=[5,1]; B=[2,7]; a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25]; b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25]; t1=A(1)-a; t2=A(2)-b; d1=(t1.^2+t2.^2).^0.5; t3=B(1)-a; t4=B(2)-b; d2=(t3.^2+t4.^2).^0.5; d=[d1,d2]; f=0; for i=1:12 f=f+x(i)*d(i); end
>> A1=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1]; >> B1=[20 20]; >> Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]; >> beq=[3 5 4 7 6 11]'; >> vlb=zeros(12,1); >> vub=[]; >> x0=zeros(12,1); >> [x,fval]=fmincon('fun2',x0,A1,B1,Aeq,beq,vlb,vub) 3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 fval = 135.2815 3 纺织厂的生产安排问题[5] 某纺织厂拟生产A，B，C三种不同的布料，根据工厂的实际条件，每天安排两班生产，每周总生产时间为90h.为了降低成本，工厂要求每周的能耗最多不超过150t标准煤.其他有关的生产能力、利润、销售量、能耗等指标如表所示.问该纺织厂每周这三种布料各生产多少米，才能使得该厂的经济效益（总利润/总耗能）最大. 表 纺织厂的生产安排问题的相关数据 布料名称 生产量/（m/h） 利润/(元/m) 最大销量/(m/周) 能耗/(t/km) A 400 2.5 40000 1.2 B 500 2.0 48000 1.3 C 360 3.0 30000 1.4
解：设x(1),x(2),x(3)分别每周A,B,C三种布料生产的长度。 建模如下： 3(2.5(1)2(2)3(3))10/(1.2(1)1.3(2)1.4(3))max =fxxxxxx
3(1)/400(2)/500(3)/360901.2(1)1.3(2)1.4(3)15010(1)40000(2)48000(3)30000xxxxxxxxx
使用matlab编程实现： function f=fun3(x) f=-(2.5*x(1)+2*x(2)+3*x(3))*10^3/(1.2*x(1)+1.3*x(2)+1.4*x(3)); >> Aeq=[1/400 1/500 1/360]; >> beq=[90]; >> A=[1.2 1.3 1.5]; >> b=[150*10^3]; >> vlb=[0;0;0]; >> vub=[40000;48000;30000]; >> [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) x =
1.0e+004 * 0.7120 0.0000 2.5992
fval = -2.1315e+003 即生产这三种布料分别为7120米，不生产B，生产C布料25992米。
4 货物供应中心的选址问题[5] 某商业公司现有5家销售专卖网点,相应的分布位置坐标和每天的货物销售量如表所示.该公司决定根据这5家专卖店的分布位置和销售量,选择一个合适的位置建造一个货物供应中心,负责向这5家销售专卖店运送货物.根据城市规划要求,货物供应中心只能建在以四个顶点坐标分别为(8,10),(12,6),(18,6)和(18,10)的四边形范围内. 问题是在单位运费一定(不妨设为1元/km)的情况下,货物供应中心应建在何处才能使得每天的总运输费用最少? 表 销售专卖店的数据 销售专卖店 A B C D E
位置坐标 （3，12） （6，6） （10，2） （18，12） （12，14） 每天货物销售量/kg
18 11 5 16 9
解：设ic为各地每天货物的销售量 ，id为供货点到各销售点之间的距离,设供货点的坐标为（x1,x2） 建立如下模型： 5
1miniiifcd
s.t 121881186210xxxx function f=fun4(x) f=18*sqrt((x(1)-3)^2+(x(2)-12)^2)+11*sqrt((x(1)-6)^2+(x(2)-6)^2)+5*sqrt((x(1)-10)^2+(x(2)-2)^2)+16*sqrt((x(1)-18)^2+(x(2)-12)^2)+9*sqrt((x(1)-12)^2+(x(2)-14)^2); >> A=[-1 -1]; >> b=[-18]; >> vlb=[8;6]; >> vub=[18;10]; >> x0=[10;10]; >> [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,[],[],vlb,vub) x =
8.4342 10.0000 fval =
401.0859 即供货点的坐标为（8.43,10）
