同角三角函数的基本关系式及诱导公式

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin αcos α＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.

2．三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sin α －sin α sin α

cos α cos α

余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α

正切 tan α tan α －tan α －tan α

口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限

概念方法微思考

1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？

提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．

2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？

提示 所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )

(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )

(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( × )

题组二 教材改编

2．若sin α＝55，π2

答案 －12

解析 ∵π2

∴cos α＝－1－sin2α＝－255，

∴tan α＝sin αcos α＝－12.

3．已知tan α＝2，则sin α＋cos

αsin α－cos α的值为 ．

答案 3

解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.

4．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．

第十一节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

(2)商数关系：tan α＝sin αcos αα≠kπ＋π2，k∈Z.

2．六组诱导公式

角

函数

2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α

－tan_α

对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

课前检测

1．sin 585°的值为( )

A．－22

B.22

C．－32

D.32

解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.

2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|

A．－π6 B．－π3 C.π6 D.π3

解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，

∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|

3．已知tan θ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝( )

A．2 B．－2 C．0 D.23

解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 4．如果sin(π＋A)＝12，那么cos3π2－A的值是____12____．

专题22 同角三角函数的基本关系及诱导公式

专题知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin

αcos α＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五

六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sinα －sinα sinα cos_α cosα

余弦 cos α －cosα cosα －cosα sin_α －sinα

正切 tan α tanα －tanα －tanα

口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：

即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了等价转化的思想方法．

考点探究

考向1 同角三角函数基本关系式及其应用

【例】（1）若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．

（2）已知sin αcos α＝18，且5π4

（3）若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝________.

【解析】（1）由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，

得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cos α<0，∴cos α＝－31010，sin α＝1010，

故sin α＋cos α＝－105。

（2）∵5π4sin α，∴cos α－sin α>0.

又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.

（3）tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋2sin 2αcos2α＋sin2α＝1＋4tan

α1＋tan2α＝6425.

题组训练

1.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．

4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：

①____________________；

②____________________．

(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．

2．三角函数的诱导公式

(1)诱导公式的内容：

x 函数

sinx cosx tanx

－α －sinα cosα －tanα

π2±α

π±α

3π2±α

2π±α

(2)诱导公式的规律：

三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．

(3)诱导公式的作用：

诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：

任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数

3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系

(sinα＋cosα)2＝________________；

(sinα－cosα)2＝________________；