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量子力学复习资料(1)

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第一讲 营销战略的意义和要素（上）
页脚内容
6
一、填空
1、19世纪末，物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段，那时，一般的物理现象都可以从相应的
理论中得到说明，但依然有一些物理现象，是当时的经典物理理论所无法解释的，比如黑体辐射问题、光
电效应、氢原子光谱等（举出三种现象即可）
2、微观粒子具有波粒二象性。
3、按照波函数的统计解释，描述单粒子量子体系的波函数()x常称为概率波，2()x表示概率密度，
其意义是2()xxyz表示在r处的体积元xyz中找到粒子的几率，2()1xd称
为波函数的归一化条件，其物理意义是在全空间找到粒子的几率为1。
4、如果波函数1和2式体系的可能状态，那么，它们的线性叠加12也是这个体系的一个可
能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。
5、波函数的标准条件为：单值，有限性，连续性。

6、如果已知氢原子的电子能量为eVnEn26.13 ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能
量为： ，光的波长为 。

7、如果已知初始三维波函数)0,(r ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为
)(p

= ，任意时刻的波函数为),(tr 。

8、在一维势阱（或势垒） 中，在x=x0 点波函数 （连续或不连续），它的导数
'

（连续或不连续）。

9、如果选用的函数空间基矢为n ，则某波函数 处于 n态的几率用 Dirac符号表示
为 ，某算符A 在 态中的平均值的表示为 。
10、力学量A的本征态n，相应的本征值为na，n=1,2,3…。如果体系处于状态1122ncc，则

测量A所得的结果为1a或2a，其出现的概率分别为 和 。
11、量子力学中力学量用厄米算符表示。
12、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
第一讲 营销战略的意义和要素（上）
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13、若|5iAi，|3iBi，则|BA= 。
14、在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性，含义是 ，与 对
应的守恒量 F一定是 算符。
15、金属钠光谱的双线结构是 ，产生的原因是 。

二、简答
1、什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与经典物理中的声波和光波的主要区别是什么？

2、扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。
3、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测
的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符
必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符
4、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

)()()()(2112212211qqqqS

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 和能量 的测不准关系。
设Fˆ和Gˆ的对易关系kˆiFˆGˆGˆFˆ，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示Fˆ、Gˆ和
k
在态中的平均值，令 FFˆFˆ，GGˆGˆ，

则有 4222k)Gˆ()Fˆ(，这个关系式称为测不准关系。
时间t和能量E之间的测不准关系为：2Et
三、证明题
第一讲 营销战略的意义和要素（上）
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1、证明矩阵33iFi为厄密矩阵。

2、在定态下(,)()iEtrtre，几率流密度与时间无关。

四、计算题
1、一粒子在一维势场, 0,()0, 0,, xUxxaxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数
第一讲 营销战略的意义和要素（上）

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2、设已知在2L和zL的共同表象中，算符xL的矩阵为01021012010xL；求它的本征值和归一
化的本征函数。最后将矩阵xL对角化。
第一讲 营销战略的意义和要素（上）

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3、在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给出
10
20
30

000000000000Ea
HEaEa





，其中a为常数且为小量，利用微扰理论求体系能量至二级修

正。
（已知微扰体系能级修正公式为2'(0)'(0)(0)nmnnnmnmHEEHEE…）

四、当为一小量时，利用微扰论求矩阵
2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。
第一讲 营销战略的意义和要素（上）

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解：将矩阵改写成：HHHˆˆˆ023032020300020001
能量的零级近似为：1)0(1E，2)0(2E，3)0(3E
能量的一级修正为：0)1(1E，)1(2E，2)1(3E

能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14EEHEEHE，
222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(
2
594EEHEEHE

，

2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(
3
9EEHEEHE

所以体系近似到二级的能量为：2141E，2252E，23923E

先求出0ˆH属于本征值1、2和3的本征函数分别为：001)0(1，010)0(2，100)0(3，
利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(iikikkikEEH，可求出波函数的一级修正为：
0102)1(1，302)1(2，


0103
)1(
3


近似到一级的波函数为：0211，3122，1303

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量子力学基础知识PPT资料(正式版)

量子力学基础知识PPT资料(正式版)


率0，金 属才能发射出光电子；
●增加照射光强度，不能增加光电子的动
能，只能使光电子的数目增加；
Ek
●光电子动能随照射光频率的增加而增加。
光
电子
金属
经典理论不能解释光电效应：
经典理论认为，光波的能量与其强度 成正比，而与频率无关；只要光强足够， 任何频率的光都应产生光电效应；光电子 的动能随光强增加而增加，与光的频率无 关。这些推论与实验事实正好相反。
de Broglie 波 与 光 波 不 同 ：光 波 的 传 播 速度 和 光 子 的 运动 速 度 相 等 ； de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一半：v＝2u。对于实物 微粒：u＝，E＝p2/(2m)＝(1/2)mv2 ,对于光：c＝，E＝pc＝mc2
微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏观粒子运动速度慢， 自 身 尺 度 大 ， 其 波 性 可 以 忽 略 ： 以 1.0106m/s 的 速 度 运 动 的 电 子 ， 其 de Broglie波长为7.310－10m（），与分子大小相当；质量为1g的宏观粒子以 110－2m/s 的速度运动，de Broglie 波长为7 10－29m，与宏观粒子的大小 相比可忽略，观察不到波动效应。
h称为Planck常数，h＝×10－34J•S
按Planck假定，算出的辐射能E与实验观测到的
黑体辐射能非常吻合：E
8h 3 c3
eh / kt 1 1
●能量量子化：黑体只能辐射频率为，数值
为h的整数倍的不连续的能量。
2. 光电效应与光的波粒二象性
光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
涉现象。即，光表现出波粒二象性。 对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。
量子力学复习题答案.pdf

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出的每条光谱线都分裂为 (2 j + 1) 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光
谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
20. 给出一维谐振子升、降算符 a + 、a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a+ 、a 的关系；哈密顿量 H 用 N
3
或 a+ 、a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
17.
完全描述电子运动的旋量波函数为
ψ
( rK ,
s
z
)
=
⎜⎜⎝⎛ψψ
K (r , K (r ,
= −
/ =
2) / 2)
⎟⎟⎠⎞
，
∫ 准确叙述
ψ
K (r ,
=
/
2)
2
及
d 3 r ψ (rK,−= / 2) 2 分别表示什么样的物理意义。
解： ψ (rK , = / 2) 2 表示电子自旋向上（ sz = = 2 ）、位置在 rK 处的几率密度；
gs
内禀磁矩 = 自旋
原子物理量子力学主要知识点复习

原子物理量子力学主要知识点复习

1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？答：爱因斯坦关系：⎪⎩⎪⎨⎧========k n n h n c h n c E p h hv Eλπλνπω22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波粒二象性。

2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？ 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。

出于定态时，原子不发生电磁辐射。

（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式12E E hv -=决定（3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件： n r m = υ 局限性：（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。

4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？答：类氢体系量子化能级的表示：()22202442nZ e E n πεμ-= 波数与光谱项的关系 ,4,5.3,3,5.2,121ˆ22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n R v5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是nh q p =⎰d空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。

、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）碱金属的选择定则：1,0,1±=∆±=∆j l碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。

爱因斯坦在普朗克“ 能量子”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。

2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即： h E ；K n h P。

3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P ，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长，它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即： h E ； K n h P。

5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r。

6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。

7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m 。

9. 设G ??和F的对易关系为k i G F ?]?,?[ ，且G G G F F F ??,??，则G ??和F 的测不准关系式为：4)?()?(222k G F；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F和G ?不能同时测定。

10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。