习题课第九章 多元函数微分法及其应用一、 基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及对应规律• 判断极限不存在及求极限的方法• 函数的连续性及其性质1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及常见的几种规律：()()()()()()()()()2),( ),,(tan 1, ,,arccos ,arcsin 0, ,,ln 0, ,,0, ,,12ππ+≠≤>≥≠k y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u n其中其中）（其中其中其中1. 多元函数的定义、极限 、连续• 判断极限不存在及求极限的几种方法：1. 多元函数的定义、极限 、连续• 函数的连续性及其性质()()()(),,,,lim 00y x f y x f y x y x =→有界性最值定理介值定理一致连续性定理()上连续在有界闭区域若D P f2. 几个基本概念的关系连续偏导数存在偏导数连续可微方向导数存在例1 求函数 的定义域，并求 。
()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=221ln 22,y x yx y x f ()()()y x f y x ,lim 0,0,→解定义域：{}{}10),(01),(222222<+<=≠+<+=y x y x y x y x y x D 且22yx t +=设()1111lim 1ln lim 0-=--=-=→→tt t t t 原式洛必达法则思考与练习例2 讨论极限解法1解法2 时, 下列算法是否正确？yx xyy x +→→00lim 0111lim0=+=→→xy y x 原式01lim ,0=+==→kkx kx y x 原式令11100=+==xy y x ××()1lim ,222-=-+-=-=→xx x x x x x x y x 原式令例3 证明函数 在点 处的两个偏导数都存在，()xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。
()0,0()y x f ,证()()()()()()00lim 0,00,0lim 0,000lim 0,00,0lim 0,00000=∆=∆-∆+=∂∂==∆=∆-∆+=∂∂=→∆→∆==→∆→∆==yy f y f yzf xx f x f x zf y y y x yx x y x x例3 证明函数 在 处的两个偏导数都存在，()xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。
()0,0()y x f ,证()()yx f y x f z ∆∆=-∆+∆+=∆0,00,0()()00,00,00=∆+∆===y f x f dzyxy x ()()212lim lim 022≠=∆∆=∆+∆-∆→∆=∆→∆=∆x x y x dz z x y x y 即()()()ρo y f x f z yx+∆+∆≠∆0,00,0可微：()())(d 22y x o z z ∆+∆+=∆二、多元函数微分法显式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)隐式结构自变量个数 = 变量总个数 – 关系式总数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性或偏导数, 求 .xzd d =∴xzd d )0(23≠'+''F F f x =xzd d +'1F23F F f x '-''-=1 32F F f x '''-12F F f x f f x '-''+'-221F f f F x f F x '-''-''f x f xzx y f x '+=+'-d d d d 132d d d d F xz F x y F '-='+'+f ⋅'f x )d d 1(xy ++'xy F d d 20d d 3='x zF解法2 方程两边求微分, 得()y x f x x f z d d d d +⋅'+=0d d d 321='+'+'z F y F x F ()0d d d =-'+'+z y f x x f x f 0d d d 321='+'+'z F y F x F 或偏导数, 求 .xzd d例5 设 而 是由方程 所确定(),,t x f y =()0,,=t y x F ()y x t t ,=的函数， 其中 都具有一阶连续偏导数，试证明F f ,t F y F t f x Ft f t F x f x y ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=d d 解()t x f y ,=()0,,=t y x F xt t f x fx y d d d d ∂∂+∂∂=0d d d d =∂∂+∂∂+∂∂xt t F x y y F x Fxt t f x f x y d d d d ∂∂+∂∂=0d d d d =∂∂+∂∂+∂∂xtt F x y y F x F 整理xf x t t f x y ∂∂=∂∂-d d d d xFx t t F x y y F ∂∂-=∂∂+∂∂d d d d 当 01≠∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=yF t f t F tF y F t f D tFy F t f x Ft f t F x f t F x Ft f x f D x y ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1d d例6 设 有二阶连续偏导数，且 ()z y x f u ,,=()y x t t xz +==ln ,sin 2求 . yx ux u ∂∂∂∂∂2,x y zf x t x y解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅'+'=∂∂y x t x t x f f x u 1cos sin 2231⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅''+''=∂∂∂y x t x f f y x u 1cos 213122⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅''+''+y x t x t x y x t x f f cos sin 21cos 223332()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅-++⋅-++⋅⋅'+2231cos 1sin 1cos 2y x t y x yx t x y x t x f 321,,f f f '''123例7 设 具有二阶连续偏导数，求()y x xy f z 22,=22222,,yz y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解2122f xy f y xz'+'=∂∂2212f x f xy yz'+'=∂∂()()222122121122222222f xy f y xy f y f xy f y y xz''+''+'+''+''=∂∂22221231142442f y x f xy f y f y ''+''+''+'=()()2222121221121222222f x f xy xy f x f x f xy y f y yx z''+''+'+''+''+'=∂∂∂22312221132125222f y x f y x f xy f x f y ''+''+''+'+'=()()222212122111222222f x f xy x f x f xy xy f x yz''+''+''+''+'=∂∂22412311221442f x f y x f y x f x ''+''+''+'=f 2xyyx 212xy21,f f ''例8 设 有连续的一阶偏导数，又函数 ()z y x f u ,,=()x y y =及 分别由以下两式确定()x z z =dttte xy e z x xxy⎰-==-0sin ,2求 . xu d d 0d d d d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y x y x y e xy()⎪⎭⎫⎝⎛---=x z z x z x e xd d 1sin 求出 x z x y d d ,d d xzf x y f f x u d d d d d d 321'+'+'=答案：()()321sin 1d d f z x z x e f x y f x u x'⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+'-'=代入三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用2.极值与最值问题• 极值的必要条件与充分条件• 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题• 曲线的切线及法平面（关键如何求切向量）• • 方向导数与梯度()()0,,00ly x gradz lz y x⋅=∂∂例9 求曲线 在点 的切线方程。
()()x x y xy =-+ln sin ()1,0解设()()()x x y xy y x F --+=ln sin ,则()()()111c 1,01,0-=⎪⎭⎫⎝⎛---=x y xy os y F x()()()11c 1,01,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y xy os x F y()()()11,01,0d d 1,0=-==yx F F xy k 1+=x y例10 在第一卦限作椭球面 的切平面，使其在1222222=++c z b y a x 三坐标轴上的截距的平方和最小，并求切点。
解设()1,,222222-++=c z b y a x z y x F 切点为()000,,z y x M 则切平面的法向量为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛==2020202,2,2,,c z b y a x F F F n M z y x 切平面方程为：()()()0222020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x 即122020=++z c z y b y x a x切平面在三坐标轴上的截距为020202z c y b x a ，，问题归结为求222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z c y b x a S 在条件1222222=++cz b y a x 下的条件极值问题。
