黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三12月月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={−1,0,1,2},B ={x|1≤2x ≤4}，则A ∩B = A ．{−1,0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1} D ．{1,2}2．（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(−4,−3)，则向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ．(−7,−4) B ．(7,4) C ．(−1,4) D ．(1,4)3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是A ．x ±2y =0B ．2x ±y =0C ．x ±√3y =0D ．√3x ±y =04．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=8，则S 7＝ A ．28 B ．32 C ．56 D ．245．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．1603B ．160C ．64+32√2D ．606．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率e 的值是A ．54B ．√54C ．32D ．√527．如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1,α2,α3,⋅⋅⋅,则与α1+α2+α3+α4最接近的角是参考值：tan55∘≈1.428，tan60∘≈1.732，tan65∘≈2.145，√2≈1.414A ．120∘B ．130∘C ．135∘D ．140∘8．过圆x 2+y 2=16上一点P 作圆O:x 2+y 2=m 2(m >0)的两条切线，切点分别为A 、B ，若∠AOB =23π，则实数m =A ．2B ．3C ．4D ．9 9．函数y =e −|lnx|−|2−x|的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知F 为抛物线y 2=8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA|−|FB||的值等于A ．4√2B ．8C ．8√2D ．16此卷只装订不密封级姓名准考证号考场号座位号11．已知函数f(x)=|log2|1−x||,若函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，则这6个零点之和为A．7B．6C．112D．92二、填空题12．已知f(x)={cosπx(x≤0)f(x−1)+1(x>0),则f(43)+f(−43)的值为___________．13．若x、y满足约束条件{x+y−1≤02x−y+1≥0x−2y−1≤0，则z=x−y的最大值为___________．14．某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多其中正确结论的序号为___________．三、解答题15．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足2√3acsinB=a2+b2−c2．（1）求角C的大小；（2）若bsin(π−A)=acosB，且b=√2，求ΔABC的面积．16．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1,a11,a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a2+a5+a8+......+a3n−1.17．在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1,∠BCC1=π3，AB=CC1=2.（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）若点E为棱CC1中点，求E到平面AB1C1的距离．18．已知函数g(x)=e x(x+1)．（1）求函数g(x)在(0,1)处的切线方程；（2）设x>0,讨论函数ℎ(x)=g(x)−a(x3+x2)(a>0)的零点个数．19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O,A两点.（1）求直线OA的斜率；（2）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B,C，求|BC|.20．已知函数f(x)=|x+1|（1）求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M（2）设a,b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b).2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三12月月考数学（文）试题数学答案参考答案 1．C 【解析】B ={x|1≤2x<4}={x|0≤x <2}，又A ={−1,0,1,2}则A ∩B ={0,1} 故选C 2．A【解析】试题分析：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3，−1)+(−4，−3)=(−7，−4),选A. 考点：向量运算 3．C 【解析】试题分析：因为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b,所以b =2c 4,c =2b.因此a =√3b.因为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax,所以该双曲线的渐近线方程是x ±√3y =0.考点：双曲线的渐近线方程 4．A 【解析】 试题分析：S 7=7×(a 1+a 7)2=7×(a 3+a 5)2=28，故选A.考点:等差数列前n 和公式. 5．A 【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为为的直角三角形，高为，四棱锥的底面是一个以为边长的正方形，高为，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为，故，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，故，故该几何体的体积，故选A ．考点：由三视图求体积.【思路点晴】由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为的直角三角形，高，四棱锥的底面是一个以为边长的正方形，高为，分别求出棱柱和棱锥的体积，即可得出结论.6．D 【解析】试题分析：设过焦点F(c,0)的弦的端点分别为A,B ，令x =c ，则y 2=b 2(1−c 2a2)=b 4a2，y =±b 2a，则|AB|=2b 2a，故2b 2a=12a ，a 2=4b 2，则e 2=c 2a=a 2+b 2a =5b 24b =54，e =√52． 考点：1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、椭圆的标准方程和简单几何性质. 7．C 【解析】 【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系，可得α1=45°，α3=30°，再利用两角和的正切公式求得tan (α2+α4)的值，可得α2+α4的值．【详解】由题意可得，α1,α2,α3,α4都是锐角，且α1=45°，tanα2=√22，tanα3=√33，∴α3=30°，tanα4=√412，∴α1+α3=75°．又tan (α2+α4)=tanα2+tanα41−tanα2⋅tanα4=√22+121−√22⋅12=6+5√27≈1.87≈tan60°，故(α2+α4)接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题． 8．A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆x 2+y 2=16上一点P(4，0)，过P 作圆O ：x 2+y 2=m 2(m ＞0)的两条切线PA 、PB ，求出∠AOB =23π时OA 的值即可．【详解】 如图所示，取圆x2+y2=16上一点P(4，0)，过P作圆O：x2+y2=m2(m＞0)的两条切线PA、PB，当∠AOB=23π时，∠AOP=π3，且OA⊥AP，OP=4；OA=12OP=2，则实数m=OA=2．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．9．D【解析】【分析】写出函数在（0，1）上的解析式，根据函数的性质，结合选项，即可得出答案．【详解】当lnx≤0即0＜x≤1时，y=e lnx−|2−x|=x−(2−x)=2x−2，∴函数y=e−|lnx|−|2−x|在（0，1]上单调递增，排A，B，C，故选：D．【点睛】本题考查函数的图象与性质，属于中档题；已知函数的解析式，判定函数图象的形状时，一般通过解析式研究函数的定义域、单调性、值域、对称性、特殊值，再结合图象进行验证排除.10．C【解析】【分析】先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．【详解】抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，准线为x=−2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由{y=x−2y2=8x，可得x2−12x+4=0，解得x1=6+4√2，x2=6−4√2，由抛物线的定义可得|FA|=x1+2=8+ 4√2，|FB|=x2+2=8−4√2，则||FA|−|FB||=8√2，故选：C．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线定义的运用．一般情况下，抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则|PF|=x0+p2；y2=2px(p<0)上任意一点，F为焦点，则|PF|=−x0+p2.11．B【解析】【分析】先作出函数f(x)=|log2|1−x||的图象，令t=f(x)，方程f2(x)+af(x)+2b=0转化为：t2+at+2b=0，再方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数解，运用图象关于直线x=1对称，这6个解两两关于直线x=1对称，计算即可得到所求和．【详解】作出函数f(x)=|log2|1−x||的的图象，可得图象关于直线x=1对称，∵函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，即方程f2(x)+af(x)+2b=0有6个不同的实数解，可得这6个解两两关于直线x=1对称，可得它们的和为2×3=6．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想方法，属于中档题．12．1.【解析】试题分析：∵f(x)={cosπx, (x≤0)f(x−1)+1, (x>0)，∴f(43)=f(13)+1=[f(−23)+1]+1=f(−23)+2=cos(−23π)+2=cos(π3−π)+2=−cosπ3+2=32，f(−43)=cos(−43π)=cos43π=cos(π+π3)=−cosπ3=−12，所以f(43)+f(−43)=32+(−12)=1.考点：1.分段函数；2.三角函数求值13．1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件{x+y−1≤02x−y+1≥0x−2y−1≤0作出可行域如图，`化目标函数z=x−y为y=x−z，由图可知，当直线y=x−z过A(1，0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为1．故答案为：1．【点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z=Ax+By，首先，作直线y=−ABx，并将其在可行区域内进行平移；当B>0时，直线y=−ABx在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当B<0时，直线y=−ABx在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.14．②【解析】【分析】取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，即可得出结论.【详解】由题意，取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，故答案为②．【点睛】本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.15．（1）300；（2）1+√34【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理求得tanC=√33,C=π6.(2)首先求得B=π4,然后结合正弦定理和三角形面积公式可得SΔABC=√3+14.试题解析：（1）由2√3acsinB=a2+b2−c2,∴2√3csinB2b=a2+b2−c22ab,∴2√3sinCsinB2sinB=cosC,∴tanC=√33,∴C=π6.（2）由bsin(π−A)=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB,∴sinB=cosB,∴B=π4,根据正弦定理bsinB=csinC,可得√2sinπ4=csinπ6,解得c=1,∴SΔABC=1bcsinA=1×√2×1×sinA=√2sin(π−B−C)=√2sin(π+π)=√3+1.16．(1) a n=−2n+27；（2）S n=−3n2+26n。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三12月月考数学（理）试题4、设是三个互不重合的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：（1），则； （2）若∥，，∥，则∥；（3）若在内的射影互相垂直，则；（4）若∥，∥，，则其中正确命题的个数为（ ）A .0 B. 1 C. 2 D. 35已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是 （ ）A.若成立，则对于任意，均有成立；B.若成立，则对于任意的，均有成立；C.若成立，则对于任意的，均有成立；D.若成立，则对于任意的，均有成立。

6. 已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（ ）A. B. C. D.7．设数列的前项和为，11,2(1)()nn S a a n n N n *==+-∈， 若2321(1)402723n S S S S n n ++++--=，则的值为（ ）A B C D8．已知实数满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则的取值范围是（ ）A B C D9. 已知函数)0,0)(cos()(πθωθω<<>+=x x f 的最小正周期为，且，若，则等于（ ）A. B. C. D.10.已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D.11．给定下列命题：（1） 在△中，是的充要条件；（2），为实数，若，则与共线；（3）若向量，满足｜｜=｜｜，则=或=-；（4）函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是； （5）若命题为：，则（6）由，求出猜想出数列的前项和的表达式的推理是归纳推理.其中正确的命题的个数为：（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．412.已知函数，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=++. 有四个不同的实数根，则的取值范围为 ( )二、填空题（每题5分共20分）13.已知数列满足)2,(*112≥∈=+-n N n a a a n n n ，若4,111164654==++a a a a a ，则.14.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，面底面，且，则四棱锥外接球的表面积为15.在中，已知232BC AC AB ==⋅，则_______________16.在△ABC 中，为上一点，且，为上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则取最小值时，向量的模为 ．三、解答题17. 已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->，其最小正周期为 （I ）求的表达式；（II ）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围18. 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1均为矩形，其中AA 1=4。

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C． D．2．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）3．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；②“命题P∨Q为真”是“命题P∧Q为真”的必要不充分条件；③∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成+=1．A．3个B．2个C．1个D．0个4．如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图（等边三角形），此正三棱锥的侧视图的面积为（）A．B．3 C．D．5．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．06．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．7．若数列a1，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a4等于（）A．﹣8 B．C．D．88．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜010．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos2，则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形12．给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B 为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12；其中，正确说法的序号是．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是；15．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，，则在方向上的投影为．16．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且=18，求c边的长．18．甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 3 4 8 15分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数15 x 3 2乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 1 2 8 9分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数10 10 y 3（Ⅰ）计算x，y的值．甲校乙校总计优秀非优秀总计（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率．（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．参考数据与公式：由列联表中数据计算临界值表P（K≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.63519．如图，已知在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．（1）求证：平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）求三棱锥D1﹣BDF的体积．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且，，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4一1：几何证明选讲] 22．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．[选修4一4：坐标系与参数方程]23．（2014秋•香坊区校级期中）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．[选修4一5：不等式选讲]24．（2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C． D．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i•（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由B⊆A，讨论B=∅与B≠∅时，求出a的取值范围．【解答】解：∵A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，且B⊆A；当B=∅时，2a＞a+3，解得a＞3；当B≠∅时，，解得1≤a≤3；∴a的取值范围是{a|1≤a≤3，或x＞3}={a|a≥1}；故答案为：C．【点评】本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B=∅的情况，是易错题．3．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；②“命题P∨Q为真”是“命题P∧Q为真”的必要不充分条件；③∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成+=1．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．③对幂函数定义的系数为1，则由此得出m的值．④不过原点但垂直于坐标轴的直线也不能用方程+=1表示．【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2＜0”，不正确．②若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件；故正确．③根据幂函数的定义，幂函数的形式为y=xα，系数为1，则m=1，所以y=x3，在（0，+∞）上时增函数．故③正确．④不过原点但垂直于坐标轴的直线也不能用方程+=1表示，∴不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查命题的否定、命题的真假、幂函数的概念、直线方程，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于中档题．4．如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图（等边三角形），此正三棱锥的侧视图的面积为（）A．B．3 C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】设棱长为a，则每个面的斜高为，由底面积为能求出a=2，由体积为，求出三棱锥的高为3．作出这个三棱锥S﹣ABC，取AC中点D，连结SD、BD，则△SBD是正三棱锥的侧视图，由此能求出此正三棱锥的侧视图的面积．【解答】解：设棱长为a，则每个面的斜高为，所以底面积S=，解得：a=2．体积V===，解得三棱锥的高h=3．作出这个三棱锥，如图S﹣ABC，SO⊥平面ABC，则SO=3，△ABC是边长为2的等边三角形，取AC中点D，连结SD、BD，则BD=，△SBD是正三棱锥的侧视图，∴此正三棱锥的侧视图的面积为S△SBD===．故选：A．【点评】本题考查正三棱锥的侧视图的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的三视图的性质的合理运用．5．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y=6．经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由得，即A（3，3），∵直线y=k过A，∴k=3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z=﹣6+3=﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．【解答】解：横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x；考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标．故选D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的伸缩、平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．7．若数列a1，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a4等于（）A．﹣8 B．C．D．8【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质求出其通项，然后根据a n=a1×可求出a n，则a4可求．【解答】解：∵数列a1，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，∴，则=8．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，以及叠乘法的运用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解答】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．10．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2≤a+2，即a2﹣a﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos2，则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边整理后，得出cosB=①，利用余弦定理表示出cosB，代入等式化简得到b2+a2=c2，即可判断三角形ABC形状．【解答】解：已知等式变形得：cosB+1=+1，即cosB=①，由余弦定理得：cosB=，代入①得： =，整理得：b2+a2=c2，即有C为直角．则△ABC为直角三角形．故选B．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B 为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等差数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n项的和推出A，B判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；【解答】解：对于①实数α=0，β≠0，则sin（α+β）=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②取数列{a n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a m+a n=a s+a t，故②不正确；对于③设a n=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；④S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），所以此数列为首项是a1，公比为q≠1的等比数列，则S n=，所以A=，B=﹣，∴A+B=0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3．c=4，满足a2+b2＞c2，故⑤不正确；故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题．属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12；其中，正确说法的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据茎叶图得出6个数分别为：78，83，83，85，91，90，利用定义分别判断即可．【解答】解：6个数分别为：78，83，83，85，91，90可得中位数为=84，故①正确；②众数为83，故错误；③平均数为85，正确；④极差为91﹣78=13，故错误；故答案为：①③．【点评】考查了茎叶图和数据中众数，平均数，极差的概念，属于基础题型，应牢记．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是3018 ；【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2009+a2010+a2011+a2012=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2010+1）+（0+1）+（2012+1）=6+…+6=6×=3018；所以该程序运行后输出的S值是3018．故答案为：3018．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．15．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，，则在方向上的投影为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】以O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），根据条件作出图形，找到B，C的位置，求出BC，AC的长度及夹角．【解答】解：以O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），∵，∴AO是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线，∵OB=OC，∴四边形ABOC是菱形，△AOC是等边三角形，∴B（1，），C（1，﹣）．∴BC=2，∠BCA=ACO=30°．∴BC×cos∠BCA=2×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据条件作出恰当的图形是关键．16．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴Rt△O1EC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且=18，求c边的长．【考点】等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式求得，再由已知，可得从而求得C的值．（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．【解答】解：（1）由于，…（2分）对于△ABC，A+B=π﹣C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴．…（3分）又∵，∴．…（6分）（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵，即abcosC=18，ab=36．…（10分）由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，…（11分）∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=6．…（12分）【点评】本题主要考查等差数列的性质，查两个向量的数量积公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18．甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 3 4 8 15分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数15 x 3 2乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 1 2 8 9分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数10 10 y 3（Ⅰ）计算x，y的值．甲校乙校总计优秀非优秀总计（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率．（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．参考数据与公式：由列联表中数据计算临界值表P（K≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.635【考点】独立性检验的应用；频率分布表．【专题】阅读型．【分析】（I）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；（II）根据样本可估计出两个学校的优秀率；（III）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．【解答】解：（Ⅰ）甲校抽取110×=60人，乙校抽取110×=50人，故x=10，y=7，…（4分）（Ⅱ）估计甲校优秀率为，乙校优秀率为=40%．…（8分）（Ⅲ）甲校乙校总计优秀15 20 35非优秀45 30 75总计60 50 110k2=≈2.83＞2.706因为 1﹣0.10=0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．…（12分）【点评】本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于基础题．19．如图，已知在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．（1）求证：平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）求三棱锥D1﹣BDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由底面是菱形，证明AC⊥面BDD1B1，再证MF⊥面BDD1B1，即证平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面ADD1A1，从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高，求出△DD1F的面积，计算出三棱锥D1﹣BDF的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面是菱形，∴AC⊥BD；又∵B1B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴AC⊥B1B，BD∩B1B=B，∴AC⊥面BDD1B1又∵MF∥AC，∴MF⊥面BDD1B1；又∵MF⊂平面D1FB，∴平面D1FB⊥平面BDD1B1；（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，∵AA1⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD，∴BH⊥A A1，∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，∴BH⊥平面ADD1A1，在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，∴BH=ABsin60°=，∴三棱锥D1﹣BDF的体积为V==×S△DD1F•BH=××1×1×=．【点评】点评：本题考查了空间中的垂直关系的证明问题与求锥体的条件问题，解题时应借助于几何图形进行解答，是易错题．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且，，求直线l的方程．【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）短轴的长求得b，进而根据离心率求得a和c的关系，则a和b的关系可求得，最后根据b求得a，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l的方程，及A，B的坐标，把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而根据求得m和k的关系式，同时根据三角形的面积求得k 和m的另一关系式，最后联立求得m和k，则l的方程可得．【解答】解：（1）短轴长2b=2，b=1，又a2=b2+c2，所以，所以椭圆的方程为（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），消去y得，（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，即即9m2=10k2+8即9m2（1+2k2﹣m2）=（1+2k2）2，解得k2=1，m2=2，所以【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力和基本运算的能力．21．已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，确定函数的单调性，可得φ（x）min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣x2+a，f'（x）=e x﹣2x．由已知，f（x）=e x﹣x2﹣1．…（4分）（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，φ'（x）=e x﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．…（8分）（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，∴．由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，…（10分）令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．∴k＜g（x）min=g（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．…（14分）【点评】此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4一1：几何证明选讲] 22．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】（1）欲证明E是BC的中点，即证EB=EC，即要证ED=EC，这个可通过证明∠CDE=∠C 得到；（2）因由相似三角形可得：AB2=AE•AF，AB2=AD•AC，故欲证AD•AC=AE•AF，只要由AB=AB得到即可．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD⊥AC，又∠B=90°，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，所以∠CDE=∠C，得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是R t△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AAFB，于是有，即AB2=AE•AF，同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段．属于基础题．[选修4一4：坐标系与参数方程]23．（2014秋•香坊区校级期中）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出；（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|PA|2+|PB|2=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），化为，化为ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2=2y﹣2x，曲线C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2．当α=0时，直线l：y=2，代入曲线C可得x+1=±1．解得x=0或﹣2．∴|AB|=2．（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，∴≤1，∴t1+t2=﹣（4cosα+2sinα），t1t2=3．∴|PA|2+|PB|2==（4cosα+2sinα）2﹣8=20sin2（α+φ）﹣6，∴|PA|2+|PB|2∈（6，14]．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4一5：不等式选讲]24．（2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}3|1||{<-∈=x Z x A ，}032|{2>+--=x x x B ，则=B A （ ） A.)1,2(- B. )4,1( C. }0,1{- D.}3,2{ 【答案】C考点：集合的表示与集合运算.2.已知(12)43z i i +=+，则z =（ ）2【答案】D 【解析】试题分析：()()()()431-243105=2,z 12121-25i i i iz i i i i ++-===-∴=++故选D.考点：复数的运算与复数模的概念. 3．若)cos(1)24(sin 22x x--=+ππ，则=x 2sin （ ） A. 1- B. 0 C. 21D. 1 【答案】D 【解析】试题分析：由于)cos(1)24(sin 22x x --=+ππ，所以1-cos()221cos()2x x ππ+⨯=--，根据诱导公式可得sin cos tan 1x x x =∴=，，2222sin cos 2tan sin 22sin cos 1,sin cos 1tan x x xx x x x x x====++故选D.考点：三角恒等变换与诱导公式.4.已知向量)sin ,(cos θθ=, 向量)1,3(-=，则|2|-的最大值，最小值分别是（ ） A ．4，0 B ．24，4 C ．24，0 D ．16，0 【答案】A考点：平面向量数量积的运算及三角函数的最值.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A.34π B.332π C.π4 D.π16【答案】D 【解析】1的圆锥，设外接圆半径为R ，如图，()2213R R -+=，解得2R =，所以外接球的表面积为2416S R ππ==．故选D.考点：三视图与球的体积.6.已知y x ,满足约束条件34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A.2z x y =-B.2z x y =-+C.y x z --=21D.2z x y =+ 【答案】B考点：简单的线性规划.7．执行右边的程序框图，若7.0=p ，则输出的n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B考点：程序框图中条件循环结构.8.柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54 【答案】B 【解析】试题分析：由题意：可以先选出左脚的一只有13C 种选法，然后从剩下的两双的右脚中选出一只有12C 种选法，所以一共有11326C C =种不同的取法；又因为柜子里有6不同的鞋，随机选出两只，一共有2615C =种选法，所以概率为62155P ==，故选B. 考点：相互独立事件的概率乘法公式.9.已知函数x e y =，若)(x f 的图像的一条切线经过点)0,1(-，则这条切线与直线1=x 及x 轴所围成的三角形面积为（ ） A.e2B.1C. 2D. e 【答案】C 【解析】试题分析：设函数x e y =经过点)0,1(-的切线的切点为(,)a a e ，则|a x a y e ='=即切线的斜率为ae ，由斜率公式得0=,1a ae e a -+所以0a =，所以斜率01k e ==，切点为(0,1)，切线方程为1,y x =+其与直线1x =，及x 轴围成的三角形面积为12222S =⨯⨯=，故选C. 考点：利用导数研究曲线上某点的切线.10.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A考点：棱柱的结构特征及面面垂直的应用. 11.过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以的右焦点F 为圆心，半径为4的圆经过A,O 两点（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.112422=-y x B.19722=-y x C. 17922=-y x D. 141222=-y x【答案】A 【解析】试题分析：由题意知：4c =，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，令x a =，则y b =，即(),A a b ，右焦点()4,0F ，4FA =，()22416,a b ∴-+=又2216,a b +=2,a b ==所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选A. 考点：双曲线方程与简单几何性质.【方法点晴】本题考查了双曲线的方程与简单几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题.取曲线方程通常用待定系数法，先定型（确定焦点位置，本题中已经明确），再定量,解题的难点是根据题目条件，构造待定系数的方程组，本题中根据其几何性质求得A 的坐标是解答的关键，同时应把握好基本量,,a b c 之间的不变关系222a b c +=.12.已知函数)(x f 对定义域R 内的任意x 都有)4()(x f x f -=，且当2≠x 时导函数)(x f '满足 )(2)(x f x f x '>'，若42<<a ，则（ ）A.)(log )3()2(2a f f f a <<B. )2()(log )3(2a f a f f <<C. )2()3()(log 2a f f a f <<D. )3()2()(log 2f f a f a << 【答案】C考点：函数的单调性与导数的应用.【方法点晴】本题考查了抽象函数及其应用，利用导数研究函数的单调性，判断函数()f x 在区间(),2-∞和()2+∞，上的单调性时解答本题的关键，同时把握好条件“)(x f 对定义域R 内的任意x 都有)4()(x f x f -=”，实质上是告诉了函数的对称性，可在递推关系中用"2x"+代替""x ，可得()()2+=2-f x f x ，所以其图象关于2x =对称，整体上属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数)0(21sin >=ωωx y 在),0(π内是增函数，则ω的取值范围是 .【答案】]1,0( 【解析】试题分析：因为函数)0(21sin >=ωωx y 在),0(π内为增函数，可得122πωπ≤，求得1ω≤，故答案为(]0,1考点：正弦函数的单调性.14.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 且倾斜角为︒60的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于B A ,两点，则=||||BF AF . 【答案】3考点：抛物线的定义、方程与几何性质.15.给出下列4个函数：①x x f sin )(=；②x x f 2)(=；③11)(-=x x f ；④x x f ln )(=，则满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立的函数序号为 . 【答案】①③④ 【解析】试题分析：对于①x x f sin )(=，由于1sin 1x -≤≤，关于原点对称，满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立；对于②x x f 2)(=，由于20x>，不关于原点对称，则不满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立；对于③11)(-=x x f ，定义域为{}|x 1x R ∈≠，值域为{}|0y R y ∈≠关于原点对称，满足对定义域D 内的D x ∈∀，有11=11x y ---等价于2x y +=恒成立，则满足条件；对于④x x f ln )(=，由于其值域为R ,关于原点对称，()()f x f y =-等价于ln =ln ,1x y xy -∴=恒成立，满足条件,所以成立的序号为①③④.考点：函数的恒成立问题.【方法点晴】本题考查了函数值域的应用，考查学生对常见基本初等函数性质的综合应用，对运算能力要求较高，属于中档题.解答本题时，关键是对条件 “对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立”的理解，本质上是对函数的值域提出了限定条件，也就是要求函数的值域应当满足关于原点对称，这样只需要求出各个函数的值域即可.16.正三角形ABC 的边长为2，F E D ,,分别在三边CA BC AB ,,上，D 为AB 的中点，DF DE ⊥，且DE DF 23=，则=∠BDE . 【答案】60考点：利用正弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用好DF DE ⊥这个条件，得到90BDE ADF ∠+∠=,从而可设BDE θ∠=，结合正三角形，分别在BDE ∆和ADF ∆中利用正弦定理表示出,DE DF ，这样就可以利用条件DE DF 23=来建立BDE ∠三角函数之间的关系，从而求得其正切值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428,a a a ++= 且23+a 是42,a a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n n n n a a b 2log )1(-+=，其前n 项和为n T ，求12-n T . 【答案】(1) 12n n a -=； (2) 212122n n T n --=+-. 【解析】考点：等比数列的通项公式与数列求和. 18.（本小题满分12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y （单位cm ）的情况如下表1：M900700300100y0.5 3.5 6.5 9.5哈尔滨市某月AQI 指数频数分布如下表2：M]200,0[]400,200( ]600,400( ]800,600( ]1000,800(频数3 6 12 6 3（1）设100Mx =,根据表1的数据，求出y 关于x 的回归方程； （参考公式：a x b yˆˆˆ+=；其中2121ˆxn x yx n yx b ni i ni ii --=∑∑==，x by a ˆ-=） （2）小张开了一家洗车店，经统计，当M 不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M 在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M 大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.【答案】（1）4412021ˆ+-=x y；（2）5500元. 考点：线性回归方程.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ,8,6==BD AC ,E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3.（1）求证：DE AC ⊥； （2）求四棱锥ABCD P -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）15（2）解：连接EF EC ,∵CD AD =且⊥PD 平面ABCD ，∴PC PA =又∵AC AB =且PB 为公共边，则PAB ∆≌PBC ∆,∴EC EA =,则AC EF ⊥…6分 ∵6=AC , ∴EF EF AC S AEC 321=⋅=∆ 当AEC ∆面积的最小值是3时，EF 有最小值1…………………8分 ∵当PB EF ⊥时，EF 取最小值，∴1522=-=EF BF BE , 由BD BE PD EF =，得158=PD ,又24862121=⨯⨯=⋅=BD AC S ABCD ……………10分 故151564158243131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P …………………12分 考点：直线与平面的垂直关系，棱柱、棱锥、棱台的体积. 20.（本小题满分12分） 已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，B 是椭圆的上顶点，2BF 的延长线交椭圆于点A ，过点A 垂直于x 轴的直线交椭圆于点C .（1）若点C 坐标为)31,34(，且2||2=BF ，求椭圆的方程；（2）若AB C F ⊥1, 求椭圆的离心率.【答案】(1) 1222=+y x ；(2) 5．（2）已知),0(),0,(),0,(21b B c F c F -，设),(y x A ，∵x AC ⊥轴，∴),(y x C -， 则),(2b c BF -=),(1y c x F -+=，),(2y c x F -=，∵A F C F 21⊥，∴022221=--=⋅y c x A F C F ①……………………………6分 ∵A 在椭圆上，∴12222=+by ax ② 由①②解得22422242,b a b y ba a x +=+=………7分∵A 在第四象限，∴222222,ba b y ba a x +-=+=③又∵2,,F B A 三点共线，∴2BF ∥A F 2, 故bx bc cy -=，④………………9分 将③代入④得222222b a b a bc b a c b +-=+-，整理得022=-bc b ，即c b 2=，………11分则225c a =，故55==a c e …………………12分 考点：椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系的综合应用，要熟练掌握求解椭圆方程的基本方法——待定系数法，牢记椭圆中三个基本量,,a b c 之间的固定关系222a b c =+，本题中两问都要用到这一关系，平面几何中的垂直关系通常利用向量的数量积转化为坐标的关系，本题中通过解方程组求得A 点的坐标，为后面建立,b c 之间的关系提供保证，这跟通常“设而不解”的做法区别所在. 21.（本小题满分12分）已知函数1)(+=x x xe e x f .（1）证明：1)(0≤<x f ；（2）当0>x 时，11)(2+>ax x f ，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）),21[+∞.试题解析：（1）∵0≠x e ，∴xe x xf -+=1)(，令x e x x g -+=)(，由x e x g --='1)(=0解得0=x ，x)0,(-∞),0(+∞)(x g ')(x g↘ 极小值1 ↗∴1)(≥x g ， 故1)(0≤<x f …………………5分 （2）①若0=a ，则0>x 时， 111)(2+=<ax x f ，不等式不成立；…………6分②若0<a ，则当ax -<<10时，1112>+ax ，不等式成立；………………7分③若0>a ，则11)(2+>ax x f 等价于01)1(2>-+-x e x ax考点：利用导数研究函数的单调性，导数在求函数的最值中的应用.【方法点晴】本题考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性、最值等函数中的基本题型，考查学生分析问题及利用所学知识解决问题的能力，对数学思想的考查也非常丰富，两问都涉及到了转化与化归的数学思想，第二问还用到了分类讨论，思维量、运算量大，属于难题，解答过程中，时刻注意把要解决的复杂分式结构的函数转化为简单的整式结构，也就会构造新函数，解决起来就方便的多，体现了化繁为简的解题原则.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =.（1）求证：△APM ∽△ABP ； （2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由切割线定理及N 是PM 的中点，可得2PN NA NB = ，进而PN NANB PN=，结合PNA BNP ∠=∠，可得PNA ∆∽BNP ∆，则APN PBN ∠=∠即APM PBA ∠=∠，再（22题图）由MC BC=，可考点：与圆有关的线段成比例问题及三角形相似的判定. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴，已知曲线C的参数方程为θθθ（⎩⎨⎧==sin 2cos 2y x 为参数），M 为曲线C 上任一点，过点M 作x 轴的垂线段MN ，垂足为N, MN 中点P 的轨迹方程为C '. （1）求曲线C '的参数方程；（2）已知曲线C '上的两点)2,(),,(21πθρθρ+B A ]),0[(πθ∈，求A O B ∆面积的最小值及此时θ的值. 【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）45，4π或34π．【解析】试题分析：(1)根据曲线C 的参数方程，结合P 是的中点，求出P 点的轨迹方程，即曲线C '的参数方程；（2）根据曲线C '的参数方程得出C '是椭圆，且椭圆C '的两点,A B 与O 构成直角三角形，利用极坐标的意义求出AOB ∆面积的表达式，再利用基本不等式求出面积的最大值与对应θ的值.考点：参数方程与普通方程的互化.24．（本小题 满分10分）选修4—5；不等式选讲．对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数x 的取 值范围． 【答案】39[,]44. 【解析】试题分析：分类讨论，当0a ≠时，原不等式转化为|2||1||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，故|1||2|x x -+-小于或等于|||2|||a b a b a ++-的最小值，换元处理设t a b=，利用绝对值三角不等式得到|||2|||a b a b a ++-的最小值，写出分段函数即可得出结论.试题解析：原式等价于|2||1||||2|||-+-≥-++x x a b a b a ，设t ab=，则原式变为|2||1||12||1|-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ·········· 2分考点：绝对值三角不等式.。