湖北省宜昌市葛洲坝中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，2） C．（﹣1，0]D．[0.2）2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x与f（x）=B．f（x）=x﹣1与C．f（x）=x与D．f（x）=|x|与3．（5分）函数f（x）=4+2a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A．（1，6） B．（1，5） C．（0，5） D．（5，0）4．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]5．（5分）已知函数y=f（x）的对应关系如下表，函数y=g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f[g（2）]的值为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知函数f（3x+1）=x2+3x+1，则f（10）=（）A．30 B．6 C．20 D．197．（5分）若函数f（x）=是R上的减函数，则实数R的取值范围是（）A． B． C．D．（，+∞）8．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）11．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．（5分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，4]，值域为．14．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8且f（﹣2）=9，则f（2）=．15．（5分）函数y=log a（x2﹣5x﹣6）单调递减区间是．16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=m有3个不等的实根，则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）计算：（1）（2）．18．（12分）已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）当a=0时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2mx+3m+4，（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求m的取值范围；（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．20．（12分）已知x满足（1）求x的取值范围；（2）求函数f（x）=（log2x﹣1）（log2x+3）的值域．21．（12分）设函数f（x）=，（a＞0）．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数f（x）=，（a＞0），上的单调性，并用单调性的定义证明．22．（12分）设m是实数，f（x）=m﹣，（x∈R），（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；（2）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x ∈R恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，2） C．（﹣1，0]D．[0.2）【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：B．2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x与f（x）=B．f（x）=x﹣1与C．f（x）=x与D．f（x）=|x|与【解答】解：对于A，f（x）=x与f（x）=，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．对于B，f（x）=x﹣1与，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数；对于C，f（x）=x与，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，正确；对于D，f（x）=|x|与，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，故选：C．3．（5分）函数f（x）=4+2a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A．（1，6） B．（1，5） C．（0，5） D．（5，0）【解答】解：∵y=a x恒过定点（0，1），∴y=2a x恒过定点（0，2），而函数f（x）=4+2a x﹣1是把y=2a x向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的，∴函数f（x）=4+2a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，6）．故选：A．4．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，则2＜x＜3，即不等式的解集为（2，3），故选：B．5．（5分）已知函数y=f（x）的对应关系如下表，函数y=g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f[g（2）]的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由图象可知g（2）=1，由表格可知f（1）=2，∴f[g（2）]=f（1）=2，故选：B．6．（5分）已知函数f（3x+1）=x2+3x+1，则f（10）=（）A．30 B．6 C．20 D．19【解答】解：函数f（3x+1）=x2+3x+1，则f（10）=分（3×3+）=32+3×3+1=19．故选：D．7．（5分）若函数f（x）=是R上的减函数，则实数R的取值范围是（）A． B． C．D．（，+∞）【解答】解：f（x）是R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故选：C．8．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：对于函数，由于它是奇函数，图象关于原点对称，且x≠±1，故排除A，C；再根据函数f（x）在（0，1）上，f（x）=，它的导数f′（x）=＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，故排除B，故选：D．9．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．10．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∵xf（x﹣1）＞0 可变形为（1）或（2）又∵函数f（x）为奇函数，且f（2）=0∴f（﹣2）=﹣f（2）=0；∴不等式组（1）的解为⇒1＜x＜3不等式组（2）的解为⇒﹣1＜x＜0∴不等式xf（x﹣1）＞0的解集是{x|﹣＜x＜0或1＜x＜3}故选：D．11．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]【解答】解：作出函数f（x）的图象，由图可知，x1+x2=﹣4，x3x4=1；当|log2x|=2时，x=4或x=，则1＜x4≤4故+=+=+x4，其在1＜x4≤4上是增函数，故﹣4+1＜+x4≤﹣1+4；即﹣3＜+x4≤3；即+的取值范围是（﹣3，3]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，4]，值域为[﹣，0] ．【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，其对称轴x=，开口向上，∵定义域为[0，4]，∴f（）≤f（x）≤f（4）即﹣≤f（x）≤0，∴函数的值域为[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]14．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8且f（﹣2）=9，则f（2）=﹣25．【解答】解：∵f（x）=x5+ax3+bx﹣8，∴f（﹣x）+f（x）=﹣16，又∵f（﹣2）=9，∴f（2）=﹣25，故答案为：﹣25．15．（5分）函数y=log a（x2﹣5x﹣6）单调递减区间是．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是{x|x＞6或x＜﹣1}，令u（x）=x2﹣5x﹣6则u（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（6，+∞）当a＞1，时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1）．当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间为（6，+∞）故答案：16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=m有3个不等的实根，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：画出的图象，如图2，由函数f（x）=m有3个不等实根，结合图象得：0＜m＜2，即m∈（0，2）．故答案为：（0，2）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=﹣72+﹣+1=﹣49+64+=19．（2）原式===﹣4．18．（12分）已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）当a=0时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，集合A={x|0≤x≤8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．∴A∩B={x|5＜x≤8}，C R B={x|﹣1≤x≤5}，A∪（∁R B）={x|﹣1≤x≤8}．（2）∵集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∪B=B，∴A⊆B，∴a+8＜﹣1或a＞5，解得a＜﹣9或a＞5．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣9）∪（5，+∞）．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2mx+3m+4，（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求m的取值范围；（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．【解答】解：（1）∵f（x）的对称轴是x=﹣m又∵f（x）在（﹣∞，1]上单调递减∴﹣m≥1∴m≤﹣1；（2）f（x）的对称轴为x=﹣m当﹣m≥1，即m≤﹣1时，g（m）=f（0）=3m+4，当﹣m＜1，即m＞﹣1时，g（m）=f（2）=7m+8∴20．（12分）已知x满足（1）求x的取值范围；（2）求函数f（x）=（log2x﹣1）（log2x+3）的值域．【解答】解：（1）∵∴，解得：x∈[，2]，（2）令t=log2x，则t∈[﹣1，1]，∴函数f（x）=（log2x﹣1）（log2x+3）=（t﹣1）（t+3）=（t+1）2﹣4，当t∈[﹣1，1]，函数为增函数，当t=﹣1时，函数取最小值﹣4，当t=1时，函数取最大值0，故函数f（x）=（log2x﹣1）（log2x+3）的值域为[﹣4，0]．21．（12分）设函数f（x）=，（a＞0）．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数f（x）=，（a＞0），上的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：（1）f（x）的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵∴f（x）为奇函数；（2）函数y=f（x）在上的单调递增，证明：，，任取，且x 1＜x2则∵，且x 1＜x2，∴x1﹣x2＜0，，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2）∴函数y=f（x）在上的单调递增．22．（12分）设m是实数，f（x）=m﹣，（x∈R），（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；（2）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x ∈R恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=m﹣=0，∴m=1．（2）由（1）可知f（x）=1﹣，设x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵x1＜x2，∴，2＞0，2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．∴f （x ）在R 上为增函数．∵f （k•3x ）+f （3x ﹣9x ﹣2）＜0，即f （k•3x ）＜﹣f （3x ﹣9x +2）=f （﹣3x +9x ﹣2） ∴k•3x ＜﹣3x +9x ﹣2即32x ﹣（1+k ）3x +2＞0对任意x ∈R 恒成立． 令t=3x （t ＞0），则t 2﹣（1+k ）t +2＞0对任意t ＞0恒成立． 令f （t ）=t 2﹣（1+k ）t +2，其对称轴，①当即k ＜﹣1时，f （0）=2＞0，符合题意； ②当时，即k ≥﹣1时，△=（1+k ）2﹣8＜0，解得：．综上所述，k 的取值范围是{k |}．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa BE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第二学期高一年级期中考试试卷数学试题考试时间： 2019 年 4 月一、选择题（共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是（）A．B．C．D．2．如果直线 n// 直线 m，且m 平面，那么 n 与的位置关系是（）A．相交 B ． C ． D ．或3．已知向量，，且，则的值是A．3B ． C ．D．4．棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A．B．C．D．5．如图，中，，，，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A．B．C．D．6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为A．B．或C．D．或7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．A．B． C ．D．9．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔M在北偏东 60°方向，行驶 4 h 后，船到达 B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A． 15 km B． 30 km C． 45 km D． 60 km10．将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，则函数的单调递增区间为（）A． B ．C． D ．11．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A． B ．C． D ．12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中 a、b、c 分别为内角A、B、C的对边 . 若，，则面积S的最大值为A．B．C．D．二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．向量与向量的夹角余弦值是__________ ．14．如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在直线所成角的余弦值等于________.和在原正方体中互为异面直线的有_______对 .16．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．三、解答题（ 6 小题，共70 分）17．（ 10 分）已知的内角、、的对边分别为，，，若，．（1）求的值；（2）若，求的面积．18．（ 12 分）已知函数．(1) 求的最小正周期及对称轴；(2) 求函数在区间[0,] 上的值域．19．（ 12 分）在中，角的对边分别为，且（1）求角 B；（2）若求的最大值.20．（ 12 分）如图，已知点P 是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、 N分别是 AB、 PC的中点．（1）求证： MN∥平面 PAD；（2）在 PB 上确定一个点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD.21．（ 12 分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为，轮船的最大速度为15 海里小时，当船速为10 海里小时，它的燃料费是每小时96 元。

数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题60分） 1.)275752cos sin +的值为( ) A.12 B. 12-C.32D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式即可求值. 【详解】()2236275sin 752sin 45752cos 75s in 75⎫=+=+==⎪⎪⎭+, )2263cos 75sin 75+=⨯=故选：C .【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题. 2. 若αβ，都是锐角，且255sin α=，()10sin αβ-=，则cos β= ( ) A.22B.210 22- 22 【答案】A 【解析】 【分析】由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出()cos ,cos ααβ-，代入即得.【详解】()100,0,sin 22ππαβαβ<<<<-=， ()()23100,cos 1sin 210παβαβαβ∴<-<∴-=--=. 2255sin ,cos 1sin 55ααα=∴=-=. ()()()531025102cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤∴=--=-+-==⎣⎦.故选：A .【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且22()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 4B. 33C. 43D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为22()a b c ab +=+，即222a b c ab +-=-.所以2221cos 22a b c C ab +-==-，所以120C =︒，又30B =︒，所以30.A B ==即4a b ==，故ABC ∆的面积1134443222S absinC ==⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“2”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. 0B. 9C. 快D. 乐【答案】A 【解析】 【分析】将展开图还原成正方体，即得答案. 【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“2”在正方体中所在的面的对面上的是“0”. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在ABC ∆中，,2,45a x b B ===︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A. 2x >B. 2x <C. 222x <<D.23x <<【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，sin sin4522a B x x==，要使得三角形有两解，则满足222x x<<，解得222x <<，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC 中，bcosB ＝ccosC ，则△ABC 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 试题分析：由正弦定理将已知条件转化为sin cos sin cos sin 2sin 222B B C C B C B C =∴=∴=或222B C B C ππ+=∴+=或B C=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形 考点：正弦定理解三角形7. 已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A. ()2∞+， B. [)2∞+， C. ()3∞-+，D. [)3∞-+，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，由A B ⊆ ，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式302x x +≤- ，得32x -≤<，[)3,2A ∴=- . A B ⊆，可得2m ≥ .故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A. (]4∞--， B. [)4∞-+， C. []420-，D. [)420-，【答案】B 【解析】 【分析】解不等式2230x x --≤，得其解集为[]1,3-.由不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，故存在[]13,x ∈-，使得不等式()2410x x a +-+≤成立，只需()2min14a x x+≥+，即求实数a 的取值范围.【详解】解不等式2230x x --≤，得13x -≤≤.不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，∴存在[]13,x ∈-，使得不等式()2410x x a +-+≤成立.即存在[]13,x ∈-，使得214a x x +≥+成立，只需()2min14a x x+≥+.又当[]13,x ∈-时，函数()22424y x x x =+=+-在[]1,3-上单调递增，1x ∴=-时，()2min43x x+=-，13,4a a ∴+≥-∴≥-.故选：B .【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知x y ，均为正实数，若()1a x y =-，，()21b =，，且a b ⊥，则141x y ++的最小值是( )A. 622+B. 32+C. 642+D. 63【答案】B【解析】 【分析】 由a b ⊥得0a b =，可得()212x y ++=.由()14141411211112x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+⨯=+⨯⨯++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭展开，利用基本不等式可求141x y ++的最小值. 【详解】()(),,1,2,1a b a x y b ⊥=-=,()0,210,21,212a b x y x y x y ∴=∴+-=∴+=∴++=.()14141410,01211112x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤>>∴+=+⨯=+⨯⨯++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭ (118621118162642322212y x x y y x x y ⎛+≥⨯+⨯=⨯+=+ ⎛⎫+=⨯++ ⎪+⎝⎭+⎝当且仅当()181212y xx y x y +⎧=⎪+⎨⎪++=⎩，即2132x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩.141x y ∴++的最小值为322+故选：B .【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 1或7 D. 2或6【答案】C 【解析】 【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为222212534,543d d =-==-=.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=； 当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=. 故选：C .【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确；BN 与DE 是异面直线，故④错误.故选：A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞- B. [)2,-+∞C. []2,2-D. [)0,+∞【答案】B 【解析】【详解】当0x =时，得任意实数a 均满足题意，当0x ≠时，211x a x x x--≥=--，又12x x ⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1x =±取得等号，故2a ≥- 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当x θ=时，函数()sin 3f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+=__．【答案】23+ 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，求出θ的值代入即可得到答案． 【详解】()sin 32sin()3f x x x x π==+；当x θ=时，函数()f x 取得最大值 2,32k k z ππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，k z ∈；∴313tan()tan(2)tan()234644631kπππππθπ++=++=+==+-．故答案为23+．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆OP（O在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m 的基线AB，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得30AOB∠=︒，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出,OB OA与OP的关系，再利用余弦定理求得OP 即h的值．【详解】由题意得,PO OA PO OB⊥⊥，因为在B处测得P点的仰角为45°，得OB OP h==，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即30PAO∠=，在PAO∆中，3tan30OPOA h︒==；AOB∆中，由余弦定理可得2222cosAB OA OB OA OB AOB=+-⋅∠，即22400323cos30h h h h=+-⋅⋅︒，解得20h=，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数()1,01,03xxxf xx⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式()13f x≥的解集为______________.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，通过()13f x ≥，转化为不等式组求解即可． 【详解】因为()1,01,03xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()13f x ≥等价于 0113x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩或01133xx ≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解0113x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩可得-<3≤0x ； 解01133x x ≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩可得01x ≤≤ ，综上可得31x -≤≤ ， 所以不等式的解集为[]3,1-【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数()2236f x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ①()y f x =的最大值为2； ②()y f x =最小正周期是π； ③()y f x =在区间132424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； ④将函数22y sin x =的图象向左平移3π个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________. 【答案】①② 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开，再由辅助角公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对选项逐一判断，即得答案. 【详解】()sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2sin363366f x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2322sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.()f x ∴的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当13,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5172,31212x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 不是减函数，故③错误； 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得22sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不与原函数图象重合，故④错误. 故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数()22sin sin 232f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()f x 的值域为23,23⎡-⎣【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数()f x 化为()sin A x ωϕ+的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（Ⅰ）()1cos 22cos sin 232xf x x x -=-⋅sin 23cos 232sin 233x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ∴()min 233f f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2312x f f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的值域为23,23⎡⎤--⎣⎦.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度； （2）求出隧道CD 的长度. 【答案】（1）)231+（2）3【解析】 【分析】（1）由已知在△AEF 中，由正弦定理即可解得AE 的值；（2）由已知可得∠BAE ＝90°，在Rt △ABE 中，可求BE 的值，进而可求CD ＝BE ﹣BC ﹣DE 的值．【详解】（1）由已知可得EF ＝2，∠F ＝45°，∠EAF ＝60°－45°＝15°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE EFsin F sin EAF=∠∠，即24515AE sin sin =︒︒，解得()231AE =+；（2）由已知可得∠BAE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt △ABE 中，()2431BE AE ==+，所以隧道长度43CD BE BC DE =--=．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量()()()322131a b c t R =-==-∈，，，，，，. （1）求a tb +的最小值及相应的t 值； （2）若a tb -与c 共线，求实数t 的值.【答案】（175，45t =；（2）35.【解析】 分析】（1）求出向量a tb +的坐标，求出a tb +，根据二次函数求最值，即得答案； （2）求出向量a tb -的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t 的值.【详解】（1）()()()3,2,2,1,32,2,a b a tb t t t R =-=∴+=-++∈，()()2223225813a tb t t t t ∴+=-+++=-+，又224495813555y t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭， 45t ∴=时，min 495y =， 即当45t =时，min497555a tb +==. （2）()()32,2,3,1a tb t t c -=---=-，且a tb -与c 共线，()()()3321320,5t t t ∴--⨯--⨯-=∴=. 【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=，135ADC ∠=，5AB =，22CD =，1AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】()2521π+，1093π 【解析】 【分析】过点C 作CE 垂直于直线AD ，垂足为E ，由题意可得CDE △是等腰直角三角形. 四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB ，高为AE ；圆锥的底面圆的半径为EC ，高为DE .根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点C 作CE 垂直于直线AD ，垂足为E .如图所示3,45,15E ADC DC CDE ∴∠=∠=∴是等腰直角三角形，22,2CD EC ED ===.又1,3AD AE AD DE =∴=+=. ()2252332BC ∴=-+=.四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB ，高为AE ；圆锥的底面圆的半径为EC ，高为DE .∴所得几何体的表面积()()2525322222521S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+，体积()2221109252532233V πππ=++⨯⨯-⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC ∆边长为2，D 为BC 的中点，三棱柱33V =的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与'C D 所成角的余弦值. 【答案】（1）318；（2）1020. 【解析】 【详解】 【分析】分析：（1）由三棱柱体积33V =，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC 中点E ，连结DE 、C′E，由D 为BC 中点，得DE∥AB，从而∠C′DE 是异面直线AB 与C′D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB 与C′D 所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC ﹣A′B′C′中，底面△ABC 边长为2，D 为BC 的中点，三棱柱体积33V =，01·22sin 60332ABCV SAA AA ==⨯⨯⨯'⨯=' 解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：013232322sin 602ABCABB A S S S ''=+=⨯⨯+⨯⨯⨯矩形= 2318+；（2）取AC 中点E ，连结DE 、C′E， ∵D 为BC 中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE 是异面直线AB 与C′D 所成角（或所成角的补角）， ∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的. ．22. 已知a ，b 为常数，函数()2f x x bx a =-+.（1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x 的解集；（2）当21a b =-时，若函数()f x 在()21-，上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）对于给定的12x x R ∈，，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明:关于x 的方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根. 【答案】（1）当2b >时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x b ≥-或}1x ≤；当2b =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；当2b <时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-；（2）3,4234⎛-- ⎝；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a b =-时，()()()2111f x x bx b x b x ⎡⎤=-+-=---⎣⎦，分11b ->，11b -=，11b -<三种情况讨论，求不等式()0f x ≥的解集；（2）当21a b =-时，()221f x x bx b =-+-，其图象的对称轴为2b x =.分22b≤-，212b -<<，12b≥三种情况讨论，即求实数b 的取值范围； （3）设()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦.由()()12f x f x ≠，得()()120g x g x <.对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，得()f x 在区间()12,x x 上单调，故()g x 在区间()12,x x 上有且只有一个零点，即方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根.【详解】（1）当1a b =-时，()()()2111f x x bx b x b x ⎡⎤=-+-=---⎣⎦.当11b ->，即2b >时，由()0f x ≥得1x b ≥-或1x ≤，∴不等式()0f x ≥解集为{1x x b ≥-或}1x ≤.当11b -=，即2b =时，()()210f x x =-≥恒成立，∴不等式()0f x ≥的解集为R . 当11b -<，即2b <时，由()0f x ≥得1≥x 或1x b ≤-，∴不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-.综上，当2b >时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x b ≥-或}1x ≤； 当2b =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；当2b <时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-.（2）当21a b =-时，()221f x x bx b =-+-，其图象的对称轴为2bx =. 当22b≤-，即4b ≤-时，()f x 在()2,1-上单调递增， ()f x 在()2,1-上存在零点，()()120f f ∴-<，即得304b -<<.4,b b φ≤-∴∈.当212b-<<，即42b -<<时，()f x 在()2,1-上存在零点，()()()()242102010b b f f ⎧∆=---≥⎪∴->⎨⎪>⎩或()()2010f f ⎧-=⎪⎨>⎪⎩或()()2010f f ⎧->⎪⎨=⎪⎩或()()102f f -<，解得043b <≤-423b ≥+b φ∈或0b =或304b -<<.342,4234b b -<<∴-<≤-.当12b≥，即2b ≥时，()f x 在()2,1-上单调递减， ()f x 在()2,1-上存在零点，()()120f f ∴-<，即得304b -<<.2,b b φ≥∴∈.综上，34234b -<≤-∴实数b 的取值范围为3,4234⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（3）设()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦. 当12,x x 给定时，()()12123f x f x ⎡⎤+⎣⎦为定值. ()()()()()()()()2121212122211233339g x g x f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=--+=--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()()()()1212,0f x f x g x g x ≠∴<.又对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，()f x ∴在区间()12,x x 上单调，即()g x 在区间()12,x x 上单调，()g x ∴在区间()12,x x 上有且只有一个零点，即方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.。

2019学年湖北宜昌葛洲坝中学高二理上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线的倾斜角为（）A． B．_________________________________C．________________________ D．2. 如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。

已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值分别为A． B．______________________________C．______________________________ D．3. 从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少1个白球，都是白球___________________________________ B ．至少1个白球，至少1个红球C ．至少1个白球，都是红球___________________________________D ．恰好1个白球，恰好2个白球4. 为了解某地参加2015 年夏令营的名学生的身体健康情况，将学生编号为，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且抽到的最小号码为，已知这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为（）A． B．___________C．___________ D．5. 若直线和直线平行，则的值为（） A．1 B．-2C．1或-2____________________ D．6. 已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（）A．____________________ B．______________ C.____________________ D．7. 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28. 若圆 C ： x 2 ＋ y 2 － x － y －12＝0上有四个不同的点到直线l ： x － y ＋ c ＝0的距离为2，则 c 的取值范围是（）A．[－2,2]___________________________________ B．[－2 ， ]C．（－2,2）______________________________ D．（－2 ，）9. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A． 2_________________________________B． 4______________________________C．________________________D．10. 设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝r 2(r>0)不经过区域D上的点，则 r 的取值范围是( )A． [2 ，2 ]B． [2 ，3 ]C． [3 ，2 ]D． (0 ，2 )∪(2 ，＋∞)11. 已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（________ ）A．_________________ B．________________________C．____________________________ D．12. 正方体的棱长为 1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积 , , 则有最小值；③若四棱锥的体积，，则为常函数；④ 若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题为（）A．① ③________ B．②___________ C．③④______________ D．④二、填空题13. 过点且与直线垂直的直线方程为________14. 设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则 _________．15. 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为_________16. 设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________三、解答题17. 已知直线与直线的交点为．（1）直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；（2）直线过点且与正半轴交于两点，的面积为4，求直线的方程．18. 在中，角所对的边分别为，且，已知，，，求：（ 1 ）和的值；___________（ 2 ）的值 .19. 已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，（）．（1）求和；________（2）若，求数列的前项和．20. 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（I）求直方图中的值；（II）求月平均用电量的众数和中位数；（III）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？21. 已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又底，且，点分别是棱的中点．（1 ）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求点到平面的距离． [22. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆，若圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的取值范围；（3）若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，则动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。