点线面位置关系知识点加典型例题
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1、教学重点和难点
重点:空间直线、平面的位置关系。
难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换
2、三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为
A∈L
B∈L => L α,A∈α,B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论:①一条直线和其外一点可确定一个平面
L
A
α
C
B
A
α
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
P α
L
β 共面直线
符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角θ∈(0,); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:
=>a ∥c
2
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
针对性练习:
1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是()
A. α内所有的直线都与a异面;
B. α内不存在与a平行的直线;
C. α内所有的直线都与a相交;
D.直线a与平面α有公共点.
2.已知两个平面垂直,下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是() .2 C
3.空间四边形ABCD中,若AB AD AC CB CD BD
=====,则AC与BD所成角为
A、0
30 B、0
45 C、0
60 D、0
90
4. 给出下列命题:
(1)直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行;
(2)直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直;
(3)异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;
(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面
其中错误命题的个数为()(A)0 (B) 1 (C)2 (D)3
5.正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,与对角线AC
1
异面的棱有()条 A 3 B 4 C 6 D 8
6. 点P为ΔABC所在平面外一点,PO⊥平面ABC,垂足为O,若PA=PB=PC,则点O是ΔABC 的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心
7.如图长方体中,AB=AD=23,CC
1=2,则二面角
C
1
—BD—C的大小为()
B
(A )300
(B )450
(C )600
(D )900
8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是( )
A 、若a ⊂α,b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α
B 、若b ⊂α, a 面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线与β平行;
B.直线a αβ线a α⊂,直线b β⊂,且a βαα的任何直线都与β平行
10、 a, b 是异面直线,下面四个命题:
①过a 至少有一个平面平行于b ; ②过a 至少有一个平面垂直于b ; ③至多有一条直线与a ,b 都垂直;④至少有一个平面与a ,b 都平行。 其中正确命题的个数是( )A 0 B 1 C 2 D 3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.已知直线a ααββ
12.已知直线a ⊥直线b, a ββ13如图,ABC 是直角三角形,∠ACB=︒90,PA ⊥平面ABC ,此图形中有 个直角三角形
14.α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断:
① m n ②αβ ③ m β ④ n α
A
B
C
P