【金版学案】高二数学选修4-1课件：2.习题课：直线与圆的未知关系

圆内接四边形的综合应用 如图 2-2-6，已知△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外接圆劣弧 上 的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E.
图 2-2-6
1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外 接圆的半径表示出 BC 边上的高．
2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及 圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论 的成立．
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一
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二 圆内接四边形的性质与判定定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解圆内接四边形的概念． 2．掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推论，并能解决有关 问题．(重点、易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 圆内接四边形的性质定理 阅读教材 P27～P28 定理 2，完成下列问题． 1．定理 1：圆的内接四边形的___对__角__互__补___． 如图 2-2-1，四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋ _∠__C___＝180°，∠B＋__∠__D__＝180°.
若 AD，BE，CF 为△ABC 的三条高线，交于 H，则图 2-2-3
中四点共圆的组数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
图 2-2-3
【解析】 其中 B，D，H，F 共圆；C，D，H，E 共圆；A，E，H，F 共圆；
A，F，D，C 共圆；B，C，E，F 共圆；A，B，E，D 共圆． 【，G 四点共圆． (2)连接 DE.由(1)知 D，G，F，E 四点共圆． 由四点共圆的性质定理的推论， 得∠ADE＝∠AFG. ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点， ∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∴∠AFG＝∠B，∴G，B，C，F 四点共圆．

[答案]
3 2
5．(2013·重庆高考)如图所示，在△ABC 中， ∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作 △ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外 接圆交于点E，则DE的长为________.
[解析] 在△ABC 中，BC＝AB·sin 60°＝10 3， 由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°， 所以 CD＝5 3，BD＝15， 由切割线定理知，CD2＝DE·BD, 解得 DE＝5. [答案] 5
经过半径的_外__端___并且_垂__直___于_这条半径的直线是 圆的切线
圆的切线垂___直__于__经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过_切__点___ 经过切点且垂直于切线定理
定理
内容
切割线 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点 定理 到割线与圆交点的两条线段长的_比__例___中__项___
思路点拨 (1)根据角平分线的性质和弦切角定理得到BE ＝CE，结合已知DB⊥BE，从而得到DE为直径，进而利用勾股 定理证明两线段相等；
(2)根据圆的切线AB及(1)的结论可以确定△BCF的形状，从 而确定其外接圆的直径，求其半径．
(1)证明：连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE， 故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定 理可得DB＝DC.
相交弦 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 定理 的_积__相等
割线定 理
切线长 定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的_积__相等 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切___线__长__相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

选修几何证明（选讲）直线与圆的住置关糸开卷有益一——[•…「公矗町弄血甬liiE俺®【i加历第加列] I定定理及性质定理. I I- 2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形I|的性质定理与判定定理、切割线定理. | ! ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1【考点自主回扣】•［要点梳理］• 1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理• (1)圆周角定理 •圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的•圆吐角的度数等于它所对弧的 _________•推论仁同弧或等弧所对的 ___________ 相等；同圆心角________ 的一半. 度数• (2)圆心角定理 圆周角圆或等圆中，相等的__________所对的弧也相•推论2：半圆(或直径)所对的圆宙备是_______ ; 9严的圆周角所对的弦是• (3)弦切角定理圆周角•弦切角等于它所夹的弧所对的__________ .•推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.• 2.圆内接四边形的判定定理和性质定理定理（或推论）如果一个四边形的对角 ,那么这个四边 形的四个顶点共圆 ■ 内角的对角 如果四边形的一个外角等于它的 , 那么这个四边形的四个顶点共 圆的内接四边形的对角内容 判定定理判定定理的推论性质定理• 3.的切线4.直线与 位直关系的有关定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的上相等 切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角定理内容 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点 比例中项 到割线与圆交点的两条线段长的 相交弦定理内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 相等 割线定理切线长定理•［基础自测］• 1.给出下列命题：•①圆心角等于圆周角的2倍；•②相等的圆周角所对的弧也相等；•③等腰梯形一定有外接圆；•④弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数；•⑤在圆内接四边形ABCD中，ZA : ZB ： ZC : ZD=m : n： p： q,则有m+p=n+q.•其中错误的是（）• A.①② B.①②④•C.③⑤ D.①③⑤•［解析］①错误,若弧不一样,则圆心角与周角的关系不确定・②错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等.③ 正确,可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆・④错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍・⑤正确,圆内接四边形力BCD的对角互补.• 2.如图所示，点力、B、C是圆。

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切点的半径
垂直于切线的直线 垂直于切线的直线
外端
垂直于
(1)求证：OC∥AD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
1．如图 2-3-8，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于 D，AB ＝6，BC＝8，则 BD 等于( )
A．4 C．5.2
图 2-3-8 B．4.8 D．6
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AC. ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝ABA·CBC＝4.8. 【答案】 B
2.如图 2-3-9 所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点，当 OP⊥l 时，则
( ) 【导学号：07370039】
A．P 不在⊙O 上
B．P 在⊙O 上
C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
图 2-3-9
【解析】 由切线性质定理的推论 1，经过圆心 O 垂直于切线 l 的直线必过
切点，故 P 为切点，应选 B.
【答案】 B
3．如图 2-3-10，AP 为圆 O 的切线，P 为切点，OA 交圆 O 于点 B，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )
图 2-3-11
因为 AB＝OA，OA＝OP，所以 OB＝2OP， 又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，所以∠O＝60°. 因为 OA＝3 cm， 所以 ＝60×18π0×3＝π，圆的周长为 6π，所以点 P 运动的距离为 π 或 6π－ π＝5π. 所以当 t＝1 s 或 5 s 时，BP 与⊙O 相切． 【答案】 1 或 5