重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称， 当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称， 当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
函数的单调性、奇偶性、周期性知识点与题型讲解高考考纲分析高考命题趋势知识点精讲一、函数的奇偶性二、函数的单调性三、函数的周期性四、函数的对称性：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔bx a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或bx f x a f 2)()2(=+-若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.函数的单调性12)3义在［－1,1］上的减函数，且(1－34.5＝－单调递增，如果.6.，上的增函数；②[1，2]上的减函数；[28如果函数9≠1的定义域是本大题共+f(1)(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．12．（16分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值；参考答案1.［-1,1］解析:由－－2x +3≥0，得函数定义域为［－3,1］．设u =－－2x+3=－+4，当x ∈［－3,－1］时，函数u=－－2x +3是增函数，而函数y=为单调增函数，故［－3,－1］是函数y=的单调增区间；当x ∈［－1,1］时，函数u =－－2x +3是单调减函数，而函数y=为单调增函数，故［－1,1］是函数y =的单调减区间．2.①③解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．①③符合.3.(,]解析:由已知条件得解得<x≤.4.[4,8)解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以0,40242,2a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪=-+⎪⎩＞解得4≤a <8.5.①解析：因为(x 1－2)(x 2－2)<0，若x 1<x 2，则有x 1<2<x 2，即2<x 2<4－x 1.又当x >2时，f (x )单调递增且f (－x )＝－f (x ＋4)，所以有f (x 2)<f (4－x 1)＝－f (x 1)，f (x 1)＋f (x 2)<0；若x 2<x 1，同理有f (x 1)＋f (x 2)<0.6.(－2,1)解析：f (x )2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.7.③解析：因为22(1)21(1)2,[1,2]f x x x x x +=+-=+-∈,所以2()2,[2,3]f x x x =-∈.由二次函数的知识知,()x f 是[2，3]上的增函数.8.8a ≥解析；2()3f x x ax =--的对称轴是直线2a x =,它的递减区间是,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.因为()f x 在区间(,4]-∞上单调递减,所以42a ≤，即8a ≥.9.∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3]解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a，即此时函数f (x)∞，3a ；(2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3.当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．10.解：(1)函数f (x)的定义域为{x |x ≥－}，当x ≥－时，函数f(x )是增函数．证明如下：任取,∈[－,+∞)，且<，则f ()－f ()=(4+)－(4+)=4(－)+(－)=4(－)+<0,∴f()－f()<0，即f()<f()，∴f(x)在[－,+∞)上是增函数．(2)∵f(x)在[－,+∞)上是增函数，∴当x=－时，f(x)取得最小值为－2,∴f(x)的值域为［－2,+∞)．(3)∵f(0)=1，∴f(x)≥1可化为f(x)≥f(0)．∵此函数是增函数，∴x≥0．11.(1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．证法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解：∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.12.解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)设0≤x1<x2≤1，则x2－x1∈(0,1]，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0,即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.函数的奇偶性＋（填序号）4第4题图且在(0，＋∞)内是x f x()-(-)6(时，，则当时，=.已知函数f(x)＝x2＋(m＋2)x＋3是偶函数，则m＝________.10.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，＝x(x＋．若f(a)＝－2，则实数二、解答题本大题共3个小题，共13．（15分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)．参考答案2.③解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，①错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，②错；④中的a 不存在．3.f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴T ＝8.又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0,2]上是增函数，且f (x )＞0，∴f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )＜0.又当x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)＞0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4,6]为减函数且f (x )＜0.如图．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴f (－25)＜f (80)＜f (11)．4.③解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数，y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数，y ＝22+1,0,+1,0x x x x ⎧⎨-⎩≥＜在(－2,0)上为增函数，所以应填③．5.(－2,0)∪(0,2)解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (2)＝0，所以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x)<0.<0，即<0，可知－2<x <0或0<x <2.6.130解析：∵函数()f x 是偶函数,∴其定义域关于原点对称,∴120a a -+=,∴13a =.∴21()13f x x bx b =+++,∴4(1)23f b =+,4(1)3f -=.∵(1)(1)f f =－,∴b =0.8.解析：当时，，.9.－2解析：因为f (x )为偶函数，所以m ＋2＝0，故m ＝－2.10.－1解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x ).又f (x )为奇函数，所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ).令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)．11.解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10,x x ⎧-⎨-⎩≥≥得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵－x2≥0，＋2|－2≠0，∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f(x)＝4－x2|x＋2|－2＝4－x2x.又f(－x)＝4xx-＝－4－x2x＝－f(x)，∴f(x)＝4－x2|x＋2|－2为奇函数．12.解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)－2>－1，－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．13.(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解：f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.f(2012)=0，f(2013)=1，f(2014)=0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝1.。
高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题 【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】八、定义法判断证明函数的单调性 【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性 【题型】十、利用函数的周期性求函数值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（ ） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞-D ．33(log 2,log 2)-例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（ ） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－5例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．4C ．2D ．3-【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（ ） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（ ） A ．()1fB ．()2fC ．()3fD ．()4f例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ） A ．2023B ．2024C ．3033D ．3034例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______.第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（ ）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增． 则上述所有正确结论的编号是________第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+.【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．1C ．1-D ．0例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-例29．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 为偶函数，且()1f x +为奇函数，若()00f =，则（ ）A ．()30f =B ．()()35f f =C ．()()31f x f x +=-D ．()()211f x f x +++=例30．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩则()2023f =________.第六天学习及训练三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（ ） A ．奇函数但不是偶函数 B ．偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ） A ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 B ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 C ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称 D ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，设()2log 4a f =，()1b f =-，23c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b<c<aD ．c a b >>4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，则(103)f 等于（ ） A ．2B ．12-C ．2-D ．45．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））设奇函数 ()f x 在()0∞+，上单调递增，且(4)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ）A ．{04}x x <<∣B ．{4xx <-∣或4}x > C ．{4}xx >∣ D ．{40xx -<<∣或04}x <<6．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解二、多选题8．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数()()1||x f x x αα=∈-R 的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，写出()f x 的一个正周期：______．四、解答题10．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()=log (+1)f x x - .(1)求()0f ，()1f ；(2)若()11f a -<- ，求实数a 的取值范围.11．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数()221x x a f x +=+是奇函数．(1)求a 的值；(2)已知()()2212f m f m -<-，求m 的取值范围．。
