函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全
函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,
1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。()()-()0,
1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：
对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量
)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f
/
函数周期性的几个重要结论
2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)(1)(x f a x f =+
⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1
)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "
7、 1)(1)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=
、
函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --
②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--
③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=
④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-
⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=
（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。
" ①))(2,)(2(),(),(2222//B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-
=与关于直线 0))(2,)(2(0),(2222=+++-+++-=B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x F y x F 与0=++C By Ax 成轴对称。 ③关于直线
0=++C By Ax 成轴对称。
{
二、函数对称性的几个重要结论
、
（一）函数)
y=图象本身的对称性（自身对称）
(x
f
若()()
f x具有对称
+=±-，则()
f a x f b x
f x a f x b
+=±+，则()
f x具有周期性；若()()
性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)
x=对称
=
+⇔)
f-
y=的图象关于直线a
(x
f
)
a
(x
(
x
f
a
推论2、)
x=对称
=⇔)
f-
f
y=的图象关于直线a
(x
)
2(
(x
a
f
x
推论3、)
x=对称
-⇔)
(x
=
y=的图象关于直线a
f
(x
)
2(
a
f
x
f+
