高中数学选修1-2课时作业8：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1.若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )
A.－2
B.23
C.－23
D.2
2.复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为(
) A.0或－1 B.0
C.1
D.－1
3.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的(
) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知复数z ＝1
a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )
A.1或－1
B.1
C.－1
D.0或－1
5.设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )
A.a ＝32，b ＝12
B.a ＝3，b ＝1
C.a ＝12，b ＝32
D.a ＝1，b ＝3
6.下列说法正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.a i 是纯虚数(a ∈R )
C.如果复数x ＋y i(x 、y ∈R )是实数，则x ＝0，y ＝0
D.复数a ＋b i(a 、b ∈R )不是实数
7.复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )
A.|a |＝|b |
B.a <0且a ＝－b
C.a >0且a ≠b
D.a ≤0
8.若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( )
A.a i>b i
B.a ＋i>b ＋i
C.a i 2>b i 2
D.b i 2>a i 2 二、填空题
9.如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝________，y ＝________.
10.给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是______________.
11.若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________.
12.已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.
三、解答题
13.已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R ).试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[答案]精析
1．D [由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.]
2．D [∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.] 3．B [∵a ＋b i
＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0， 而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，
∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．
∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i
为纯虚数”的必要不充分条件．] 4．C [因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a －1≠0，
解得a ＝－1.] 5．A [由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a ＋b ＝2，
解得a ＝32，b ＝12.故选A.] 6．A [两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A 正确；B 中当a ＝0时，a i 是实数0；C 中若x ＋y i 是实数，则y ＝0就可以了；D 中当b ＝0时，复数a ＋b i 为实数．]
7．D [复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.]
8．D [∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D.]
9.14
1 [解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝14，y ＝1. 10．2＋3，0.618，i 2
[解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．
11．2k π＋π2
(k ∈Z ) [解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，
知⎩
⎪⎨⎪⎧ cos θ＝0，1＋sin θ≠0，所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 12．－1
[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1. 13．解 (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0，①
且a 2－7a ＋6a 2－1
有意义，② 解①得a ＝－1且a ＝6，解②得a ≠±1，
∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0，③
且a 2－7a ＋6a 2－1
有意义，④ 解③得a ≠－1且a ≠6，解④得a ≠±1，
∴a ≠±1且a ≠6，
∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2
－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，
∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。