D题 报童卖报问题
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D题报童卖报问题目录一问题的提出与问题分析 (3)二关键词与符号约定 (4)三模型的建立及模型求解...........................................5-6 四总结. (7)五参考文献 (7)问题：若每份报纸的购进价为0.75元，零售价为1元，退回价为0.60元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少报纸才能使平均收入最高。
这个最高收入是多少？问题分析：收入的定义：指企业在日常活动中所形成的、会导致所有者权益增加的、与所有者投入资本无关的经济利益的总流入，包括销售商品收入、劳务收入、让渡资产使用权收入、利息收入、租金收入、股利收入等，但不包括为第三方或客户代收的款项。
即用不到“购进价为0.75元”这个条件。
在此我会分别求出, 最高平均利润和最高平均收入时, 购入报纸量，以及此时的最高利润和最高收入。
不管求收入或者利润思路都是一样的，先列出收入（或利润）函数，其中包含定量x即购入报纸量，以及随机变量δ即市场需求量。
再利用δ服从均值500份，均方差50份的正态分布求出该收入（或利润）函数的期望，该函数为x的代数方程式。
最后求出这个函数的最大值（即最高平均收入（或利润）），以及对应此最高平均收入（或利润）的x值（即为此时的购入的报纸量）。
注：求此题可能会求到正态分布密度函数的积分，则可以用泊松分布来近似求解，或者使用数学软件计算。
在此我使用数学软件计算，因为泊松分布近似求解会产生较大误差。
关键词收入，收益（利润），正态分布，平均收入（收入的期望），平均利润（利润的期望），Mathematica，密度函数符号约定x为购入报纸总量δ为市场需求量（随机变量）2~(500,50)Nδ为随机变量δ服从均值500份，均方差50份的正态分布(,)I xδ购入量为x的利润函数[(,)]E I xδx的利润期望函数(,)R xδ购入量为x的收入函数[(,)]E R xδx的收入期望函数22(500)250()pδδ--⨯=为2~(500,50)Nδ的密度函数模型的建立和求解模型的建立:1.报纸需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，则~(500,50)N δ，δ的密度函数是22(500)250()p δδ--⨯=。
2. 每份报纸的购进价为0.75元，零售价为1元，退回价为0.60元。
模型的求解：1.求解最高平均利润，以及此时对应的x 值：设购进报纸x 份，则利润函数为0.25,x x δ<(,)I x δ=0.25[0.15()],x x δδδ--≤已知~(500,50)N δ，22(500)250()p δδ--⨯=，则利润函数的期望为[(,)]{0.25[0.15()]}()0.25()xoxE I x x p d xp d δδδδδδδ+∞=--+⎰⎰化简：0.4()0.15()0.25()xxxp d x p d x p d δδδδδδδ+∞=-+⎰⎰⎰····○1使用Mathematica 求解：第一步，画出利润函数的期望的一维图形。
画出当(400,600)δ∈时(,E[I(x,)])δδ图像：（输入数据如下）Plot[0.4*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[E xp onentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500)*x, {x, 0, a}]- 0.15*a*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[E xponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, 0,a}]+ 0.25*a*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[E xponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, a, +\[Infinity]}],{a, 400, 600}]S hift + E nter得出图形：猜想○2：图形为先增后减的图形，○1的最大值对应的x在450~550之间下面论证猜想○2的正确性：当x=0时○1>=0，且○1的图形当(0,400)∈时x Ax∈时单调递增，且○1当(600,)为单调递减. 当(,)∈+∞时○1<=0，则猜想○2成立。
x A1.当x=0时，代入○1，则有000E[I(0,)]0.4()0.150()0.250()p d p d p d δδδδδδδδ+∞=-⨯+⨯⎰⎰⎰0000=-+=2. ○1当(0,400)x ∈时，○1的图形为：（输入的数据如下）P l o t [0.4*I n t e g r a t e [1/(S q r t [2 \[P i ]]*50)*\[E x p o n e n t i a l E ]^-(x - 500)^2/(2*2500)*x , {x ,0, a }] - 0.15*a *I n t e g r a t e [1/(S q r t [2 \[P i ]]*50)*\[E x p o n e n t i a l E ]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x , 0, a }]+ 0.25*a *I n t e g r a t e [1/(S q r t [2 \[P i ]]*50)*\[E x p o n e n t i a l E ^-(x - 500)^2/(2*2500), {x , a , +\[I n f i n i t y ]}] {a , 0, 400}]输出的图形为：图形为严格递增。
3. ○1的当(400,2000)x ∈时，○1的图形为：（输入的数据略）易得当x>2000时，[(,)]E I xδ<0，即购入多了则亏本。
结合1，2，3得出猜想○2的正确。
所以利润函数的期望最大值所对应的x在450~550之间。
第二步，在450~550之间解出x最大的近似值，再解出最佳购入报纸数。
首先求解利润期望○1最大时的x值。
具体方法是：对○1求导，在x∈（0~1000）的范围内，用逼近法求出使○1的导数为0时的x近似值，该值即为所求。
FindR oot[D[0.4*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[ExponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500)*x, {x, 0, a}] -0.15*a*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[ExponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, 0, a}] +0.25*a*Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[ExponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500),{x, a, +\[Infinity]}], a] == 0,S hift + E nter得出结果：{a→515.932}所以当x 趋近于515.932时利润的期望取得最大值，因为该利润的期望函数为连续的，而x 为正整数，则最大值在x =515或者x =516取得，下面对比x =515，x =516时利润的期望。
当x =516时，E[I(x,)]δ等于：0.4*N Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[Ex ponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500)*x, {x, 0, 516}]-0.15*516* N Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[ExponentialE]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, 0, 516}]+ 0.25*516*N Integrate[1/(Sqrt[2 \[Pi]]*50)*\[Exponentia lE]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, 516, +\[Infinity]}]输出为： 117.416所以 E[I(516,)]δ= 117.416 同理 解出 E[I(515,)]δ= 117.415117.415 < 117.416所以当购入516份报纸时，能实现平均利润最大，且最大平均利润值为117.416（元）。
2.求解最高平均收入以及此时对应的x 值（方法与1相同）：设购进报纸x 份，则收入函数为,x x δ<(,)R x δ=[0.6()],x x δδδ+-≤已知~(500,50)N δ，22(500)250()p δδ--⨯=，则利润函数的期望为[(,)]{[0.6()]}()()xoxE R x x p d xp d δδδδδδδ+∞=+-+⎰⎰化简： 00.4()0.6()()xxxp d x p d x p d δδδδδδδ+∞=++⎰⎰⎰····○1使用Mathematica 求解：第一步，画出收入函数的期望的一维图形。
画出当(400,600)δ∈时(,E[R(x,)])δδ图像：（输入数据如下）P lot [0.4*Integrate[1/(S qrt[2 \[P i]]*50)*\[E xp onentialE ]^-(x - 500)^2/(2*2500)*x, {x, 0, a}]+ 0.6*a*Integrate[1/(S qrt[2 \[P i]]*50)*\[E xponentialE ]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, 0,a}]+ a*Integrate[1/(S qrt[2 \[P i]]*50)*\[E xponentialE ]^-(x - 500)^2/(2*2500), {x, a, +\[Infinity]}], {a, 400, 600}]输出图形如下：猜想○3：当x →+∞收入函数的期望趋近于+∞，收入函数的期望最大值不存在。
论证猜想○2：因为 [(,)]E R x δ000.4()0.6()()x x x p d x p d x p d δδδδδδδ+∞=++⎰⎰⎰ 00lim [(,)]0.4lim ()lim 0.6()lim ()x x x x x x x E R x p d x p d x p d δδδδδδδδ+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=++⎰⎰⎰又有 0l i m 0.6()x x x p d δδ→+∞⎰ ≥ 1lim 0.62x x →+∞⨯ =+∞ 而易得 0l i m ()0x x p d A δδδ→+∞=≥⎰ ， lim ()0x x x p d B δδ+∞→+∞=≥⎰ 所以 l i m [(,)]x E R x δ→+∞=+∞所以猜想○3正确。
