数字信号处理课后答案+第5章

3 1 1 y (n) y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) 4 8 3
将上式进行Z变换， 得到
3 1 1 1 2 Y ( z ) Y ( z ) z Y ( z ) z X ( z ) X ( z ) z 1 4 8 3
1 1 1 z 3 H ( z) 3 1 1 2 1 z z 4 8
题1解图（二）
(3) 将H(z)进行部分分式展开：
H ( z)
1 1 1 z 3 1 1 1 1 (1 z )(1 z ) 2 4
1 z H ( z) A B 3 1 1 1 1 z ( z )(z ) z z 2 4 2 4
1 z 1 10 3 A (z ) 1 1 1 2 z 2 3 ( z )(z ) 2 4 1 z 1 7 3 B (z ) 1 1 1 4 z 4 3 ( z )(z ) 2 4
1 解： 图(a) H ( z ) 1 az 1
1 0.5 z 1 图（b） H ( z ) 1 0.3z 1
图（c） H(z)=a+bz－1+cz－2
1 1 图（d） H ( z ) 1 1 az 1 bz 1
图（e）
2 0.24z 1 H ( z) 1 0.25z 1 0.2 z 2
H(z)=1+2z－1+0.3z－2+2.5z－3+0.5z－5
画出它的直接型结构如题8解图所示。
题8解图
9. 已知FIR滤波器的系统函数为
1 H ( z ) (1 0.9 z 1 2.1z 2 0.9 z 3 z 4 ) 10
试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。
题3解图（一）
(2) 级联型结构。 将H(z)的分子和分母进行因式分解， 得到
(a z 1 )(b z 1 ) H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) 1 1 (1 az )(1 bz )
按照上式可以有两种级联型结构: ①
z 1 a ， H1 ( z) 1 1 az
1 1 图（f） H ( z ) 1 1 0.5 z 1 0.75 z 1
2 0.25z 1 图（g） H ( z ) 3 2 1 1 0.25z z 8
图（h）
H ( z) 3 1 sin z 4 3 3 3 3 1 cos z 1 cos z 1 sin 2 z 2 cos2 z 2 4 4 4 4
1 1 y (n) x(n) x(n 1) y (n 1) y (n 2) 3 4
试画出系统的直接型结构。 解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为
1 z 1 H ( z) 1 1 1 2 1 z z 3 4
画出其直接型结构如题2解图所示。
题2解图
题6图
7. 假设滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=anu(n) 0＜a＜1 求出滤波器的系统函数， 并画出它的直接型结构。 解： 滤波器的系统函数为
1 H ( z) ZT[h(n)] 1 az 1
系统的直接型结构如题7解图所示。
题7解图
8. 已知系统的单位脉冲响应为 h(n)=δ(n)+2δ(n－1)+0.3δ(n－2)+2.5δ(n－3)+0.5δ(n－5) 试写出系统的系统函数， 并画出它的直接型结构。 解： 将h(n)进行Z变换， 得到它的系统函数
解： 分别画出（1）、 （2）的结构图如题10解图 （一）、 （二）所示。
（1） 属第一类N为偶数的线性相位滤波器， 幅度特性
关于ω=0, π, 2π偶对称， 相位特性为线性、 奇对称。
（2） 属第二类N为奇数的线性相位滤波器， 幅度特性
关于ω=0, π, 2π奇对称， 相位特性具有线性且有固定的π/2相
H (k ) 1 W k z 1 k 0 N
N 1
N=16
画出其结构图如题11解图所示。
题11解图
12. 已知FIR滤波器系统函数在单位圆上16 个等间隔采样点为: H(0)=12， H(3)~H(13)=0 3 3 H(1)=－3－j ， H(14)=1－j H(2)=1+j， H(15)=－3+j 1 z N N 1 H (k ) 试画出它的频率采样结构, 取修正半径r H ( z) 1 =0.9, 要求用实数乘法器。 WN k z 1 N k 0 解：
1 (1 0.1853z 16 ) 16
·
12 6 6.182z 1 2 2.5456z 1 1 0.9z 1 1 1.663z 1 0.81z 2 1 1.2728z 1 0.81z 2
4.6 教材第5章习题与上机题解答
1. 已知系统用下面差分方程描述:
3 1 1 y (n)＝ y (n 1)－ y (n 2)＋x(n) x(n 1) 4 8 3
试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。
解： 将原式移项得
按照上式可以有两种级联型结构: ① 1 1
1 z 3 1 H ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 2 4
画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 1 1 ②
1 z 1 H ( z) 3 1 1 1 1 1 z 1 z 2 4
画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。
10 7 H ( z) 3 3 1 1 z z z 2 4
10 7 10 7 z z 3 3 H ( z) 3 3 1 1 1 1 1 1 (z ) z 1 z 1 z 2 4 2 4
根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
题1解图（三）
2． 设数字滤波器的差分方程为
z 1 b H 2 ( z) 1 bz 1
画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示。
z 1 a z 1 b ② H1 ( z) ， H 2 ( z) 1 1 bz 1 az 1
画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示。
题3解图（二）
4. 设系统的系统函数为
3. 设系统的差分方程为 y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab 式中, |a|<1， |b|<1, x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信 号, 试画出系统的直接型和级联型结构。
解： (1) 直接型结构。 将差分方程进行Z变换， 得到
①
4(1 z 1 ) H1 ( z) ， 1 1 0.5 z
1 1.414z 1 z 2 H 2 ( z) 1 0.9 z 1 0.81z 2
画出级联型结构如题4解图(a)所示。 ②
1 1.414z 1 z 2 H1 ( z) ， 1 1 0.5 z 4(1 z 1 ) H 2 ( z) 1 0.9 z 1 0.81z 2
(1 z 1 )(1 1.414z 1 z 2 ) H ( z) 4 (1 0.5z 1 )(1 0.9 z 1 0.81z 2 )
试画出各种可能的级联型结构， 并指出哪一种最好。
解： 由于系统函数的分子和分母各有两个因式， 因
而可以有两种级联型结构。 H(z)=H1(z)H2(z)
Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab
Y ( z) ab (a b) z 1 z 2 H ( z) X ( z ) 1 (a b) z 1 abz2
按照Masson公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。
画出级联型结构如题4解图（b）所示。 第一种级联型结构最好， 因为用的延时器少。
题4解图
5． 题 5图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲 响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。 解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z) (2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z) (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) · 2(z)+H3(z) H
(1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型 结构如题1解图（一）所示。
题1解图（一）
(2) 将H(z)的分母进行因式分解：
1 1 1 1 1 z 1 z 3 3 H ( z) 3 1 1 2 1 1 1 1 1 z z (1 z )(1 z ) 4 8 2 4
3 1 sin z 4 3 1 1 2 cos z z 2 4
图（i）
b0 b1 z 1 b2 z 2 1 H ( z) 1 2 1 a1 z a2 z 1 a3 z 1
图（j）
b0 b1 z 1 b2 z 2 b3 b4 z 1 H ( z) 1 2 1 a1 z a2 z 1 a3 z 1
(4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n)
=h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n)
H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z)
题5图
6． 题6图中画出了10种不同的流图， 试分别写出它们的 系统函数及差分方程。
解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别
如题9解图(a)、 (b)所示。
题9解图
10． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为: (1) N=6 h(0)=h(5)=15 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 (2) N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=－h(5)=－2 h(2)=－h(4)=1 h(3)=0 试画出它们的线性相位型结构图， 并分别说明它们的幅度 特性、 相位特性各有什么特点。
移。
题10解图（一）
题10解图（二）
11． 已知FIR滤波器的16个频率采样值为： H(0)=12， H(3)~H(13)=0
H(1)=－3－j 3 ，Байду номын сангаас
H(2)=1+j，
H(14)=1－ j
H(15)=－3+j 3
试画出其频率采样结构， 选择r=1， 可以用复数乘法器。 解：
1 z N H ( z) N
画出其结构图如题12解图所示。
题12解图
13． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为
h(n)=δ(n)－δ(n－1)+δ(n－4)
试用频率采样结构实现该滤波器。 设采样点数N=5， 要
求画出频率采样网络结构， 写出滤波器参数的计算公式。
解： 已知频率采样结构的公式为
H ( z ) (1 z
将上式中互为复共轭的并联支路合并， 得到
1 r 16 z 16 H ( z) 16

H (k ) 1 rW16k z 1 k 0
15
H (0) 1 H (1) H (15) 16 (1 0.1853z ) 1 1 0.9W 1 z 1 1 0.9W 15 z 1 16 1 0.9 z 16 16 H (2) H (14) ＋ 2 1 14 1 1 0.9W z 1 0.9W16 z 16