第五章 摩擦理论力学

平衡，求力 Q 的值的范围。
α
解1：（解析法）
以物块为研究对象，当物块处于向下
y
滑动的临界平衡状态时，受力如图， Qmin
建立如图坐标。
P
∑ Fx = 0:Qmin cosα + F1max − Psinα = 0
P
x F1max
FN1
∑ Fy = 0:−Qmin sinα + FN1 − Pcosα = 0
作用线沿接触面公切线 ， 方向与相对滑动的趋势的 方向相反。FF＝＝FFPP
第五章 摩 擦
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静滑动摩擦定律——库仑定律
由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体 间的法向反力的大小成正比，即：
Fmax＝f FN
f ：静滑动摩擦系数，它取决于物体接触表 面的材料性质与物理状态（光滑程度、温 度、湿度等等），与接触面积的大小无关 。
静摩擦力（未达极限值时），可象一般约束力那样 假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的方 向是否正确。
第五章 摩 擦
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[例]图示颚式破碎机，已知颚 板与被破碎石料的静摩擦系数f ＝0.3，试确定正常工作的箝制 角α 的大小。（不计滚动摩 擦）
解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自 重。根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚 板的条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此 两力使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与 半径间的最大角度应为ϕm。
另外一方面摩擦阻力会消耗能量，产生热、噪 声、振动、磨损，特别是在高速运转的机械中，摩擦 往往表现得更为突出。
第五章 摩 擦
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§5-2滑动摩擦 1. 静滑动摩擦力
当物体在外力作用下有滑动 趋势时，物体之间的摩擦力
最大静滑动摩擦力
在临界平衡状态时，静 摩擦力达到最大值Fmax
00≤≤FF≤≤FFmmaaxx
力学名家
第一章 静力学基础
第一篇 静力学
主讲教师 薛孔宪 纪冬梅
第五章 摩 擦
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§ 5-1 摩擦现象 § 5-2 滑动摩擦 § 5-3 具有摩擦的平衡问题 § 5-4 滚动摩擦
第五章 摩 擦
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§ 5-1 摩擦现象
两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势 时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。 这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。
二是不绕A点翻倒，则法向约束力 FN的作用线距 点A的距离d≥0。
第五章 摩 擦
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[例]均质木箱重P=5kN，和地面的静摩擦系数f=0.4。图
中h=2a=2m，α=30°。求：（1）当D处拉力F=1kN，
木箱是否平衡？（2）保持木箱平衡的最大拉力
研究对象：木箱 受力图：
∑ Fx = 0 Fs − F cosα = 0
P
时，梯子能处于平衡？
αA
解1：（解析法）以梯子为研究对象， 当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
FNB
B
y
时，受力如图，此时α 角取最小值α min FB
x
∑ Fx = 0: FNB − FA = 0 ———（1） ∑ Fy = 0: FNA + FB − P = 0 ——（2）
∑M A(F ) =0
FA = FAmax = fFNA
FB = FB max = f s FNB
F2max = fFN 2
联立求解得：Qmax =
故力Q 应满足的条件
sinα + cosα −
f f
cosα sin α
P
为：
sinα − f cosα P ≤ Q ≤ sinα + f cosα P
cosα + f sinα
cosα − f sinα
第五章 摩 擦
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解2：（几何法）
Qmin
当物体处于向下滑动的临界平衡状态 时，受力如图，可得力三角形如图。
第五章 摩 擦
研究对象：小球 受力图： 取坐标：
15 y
x
α 2
≤ ϕm
α ≤ 2ϕ m
f = 0.3 ϕ m = arctan f = 16o 42′ α ≤ 2ϕ m = 33o 22′
第五章 摩 擦
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[例] 将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角α 大于接触面的摩擦角ϕm ，已知静
Q
摩擦系数为 f ，若加一水平力 Q 使物块
FNA=P− fFNB
FNA
=P 1+ f
2
FNB
=
fP 1+ f
2
将FN A代入（2）求出FB，将FNB和 FB代入（3），得：
cosαmin − f 2 cosαmin − 2 f sinαmin = 0
将 f = tgϕm 代入上式，解出：
tgα min
= 1 − tg2ϕm 2tgϕm
= ctg2ϕm
即：ϕ≤ϕm
第五章 摩 擦
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静摩擦系数的测定
f = tan ϕ m = tan α
把要测定的两个物体的材料分别做成可绕O轴转 动的平板OA和物块B，并使接触表面的情况符 合预定的要求。当α角较小时，由于存在摩擦， 物体B在斜面上保持静止，逐渐增大倾角，直到 物块刚开始下滑时为止，此时α=ϕm 。
∑ Fy = 0 FN − P + F sinα = 0
∑ M A(F) = 0
hF
cosα
−
P
a 2
+
FN
d
=0
解得： Fs = 866 N FN = 4500 N
Fsmax=fFN=1800N＞866N
d = 0.17 m 结论：平衡
第五章 摩 擦
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（2）为求保持平衡的最大拉力F，可分别求出木箱将滑
=π 2
−ϕm
−
∠CAE
=
π 2
−ϕm
−
∠ACE
=
π 2
−
2ϕ m
ϕm
FRA
故α 应满足的条件是：
π 2
≥α
≥
π 2
− 2ϕm
第五章 摩 擦
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[例]水平面上迭放着物块A和B，分别重PA=100N,PB=80N。物
块B用拉紧的水平绳子系在固定点，如图5-5(a）。已知物块A
和支承面间、两物块间的摩擦系数分别为f1=0.8，f2=0.6。求自
F1max = fFN1
第五章 摩 擦
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当联物立块求处解于得向：上Qm滑in 动= 的scion临sαα界−+平ff c衡soins状αα态P时，Qmax y
受力如图，建立如图坐标。
∑ Fx = 0:Qmax cosα − F2max − Psinα = 0
P
x
F2max
FN2
∑ Fy = 0:−Qmax sinα + FN 2 − Pcosα = 0
=
tg(
π 2
− 2ϕm )
第五章 摩 擦
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于是：α min
=
π 2
− 2ϕm
故α 应满足的条件是：
π 2
≥α
≥π 2
− 2ϕm
此条件即为梯子的自锁条件。
ϕm B C
解2：（几何法）
FRB
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
E
时，受力如图，显然 FRA ⊥ FRB ，于 是
P A α min
α min
的摩擦角
tanϕ m
=
Fmax FN
=
f
第五章 摩 擦
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物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内
摩擦锥 ：如过全反力作用点在不同 的方向作出在极限摩擦情况下的全 反力的作用线，则这些直线将形成 一个顶角为2ϕm的圆锥。
自锁：当物体所受主动力合力FQ作 用线位于摩擦锥以内时0≤α≤ϕm， 无论主动力FQ的值增至多大，总有 相应大小的反力FR与之平衡，使此 物体恒处于平衡状态。
第五章 摩 擦
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2.动滑动摩擦力 两接触物体之间发生相对滑动时，其接触面上产
生阻碍相对滑动的阻力。 动滑动摩擦定律 由实验证明：动摩擦力的方向与物体接触部位 相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正
压力成正比。 F ′＝f ′FN
f ′：动滑动摩擦系数，它主要取决于物体接触
表面的材料性质与物理状态（光滑程度、温
左向右推动物块A所需的最小水平力P。
解：求这类极限值问题，通常在临界平衡状态下求解。即补充方
程为
Fs = Fmax = fs N
第五章 摩 擦
26பைடு நூலகம்
研究对象：物块B 受力图如（b）
ΣFy=0 F’2N=PB
F1 = f1F1N
F2 = f2F2N F2N = F2'N
研究对象：物块A
受力如图（c）
∑ Fx = 0
度、湿度等等），与接触面积的大小无关 。
第五章 摩 擦
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约束名反力小结 图 例 称
符 大小 号
方位 指 向
静滑
平衡： 沿接 与相对
动摩 Q
W
擦力
F N
F=Q F 临界
Fmax=fN
触面 运动(趋 公切 势)相反 线
动滑
动摩 Q W
F=f’N
擦力
FF
N
沿接 与相对 触面 滑动方 公切 向相反 线
由于库仑定律不含±号，无法修正摩擦力的指向，故要求
动时的临界拉力F1和木箱将绕A点翻倒的临界拉力F2。 二者中取其较小者，即为所求。
木箱将滑动的条件为： ∑ Fx = 0 Fs − F cosα = 0
且有 得
∑ Fy = 0 FN − P + F sinα = 0