[理学]第四章 刚体

一般情况角动量方向与转轴方向并不相同。
L I
刚体转动动能：
I为转动惯量是张量。
**当转轴是主轴时，该张量退化为数。
1 2 E k I 2
12
质点直线运动与刚体转动的比较：
质点 动量： 刚体
P mv
1 mv 2 2
角动量： L I
动能：
1 2 E k I 2
也可写成切向、法向分量的形式：
mi
vi
ri
O
dv i at Ri dt
an v2 i Ri 2 Ri
、 是矢量，在
定轴转动中轴的方 位不变，所以可用 标量表示其正负向。
5
刚体转动的角速度相对于刚体上任意点都相同 （转轴方向不变）。 在刚体作匀变速定轴转动（为恒量） 时相应的运动学方程：
第 四 章
刚 体 的 运 动 规 律
1
第四章
刚体的运动规律
§4-1 刚体的平动和定轴转动
1.1 刚体的平动 1.2 刚体的定轴转动
§4-2 刚体对定轴的转动惯量
2.1 刚体的角动量
2.2 刚体的转动动能
作业：4-3、4-4、4-5
2
§4-1 刚体的平动和定轴转动
刚体：它是质点组的一个特殊系统，当刚体受力 或力矩作用时，组成它的所有质点之间的距离、 形状和体积保持不变
如果转动中，其转轴固定不动称为刚体的定轴转动
在作定轴转动的各质元到转轴Z的垂 直距离Ri，在同样的时间间隔内转过 相同的角度，因此可用角位移 角速度、角加速度 来描述其运动。 d ＝lim t 0 t dt
d 2 lim t 0 t dt 2
F

18
2.2.3 刚体定轴转动的动能定理
W外力 W内力 Ek Ek Ek 0
W外力 Md , W内 力 0,
0
Ek 0
1 2 J 0 , 2
1 Ek J 2 . 2
1 2 微分形式： Md d J 2 积分形式： Md 1 J 2 1 J 2 0 2 2 0
J z 常量，当M z 0时， 常量；如回转仪 1 J 常量， J , 成反比；如跳水运动员 等
物体的一般动力学公式
一般分解为绕质心C 点的转动和质心C点 平动
y y’ x’
23
mxC Fx myC Fy
质心的平动
θ
C
M J
绕质心的转动 在保守力作用下，刚 体的机械能守恒
o
整个刚体动能为
Ek E ki
N

vi ri m i
1 N 2 2 mi ri 1 J 2 2 i 1 2
i 1
o
17
2.2.2 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 y F dW Md d r P W Md d r 0 x o dW d N M M dt dt
10
1 2 t 10rad 2 所以在这5秒内滑轮转过的圈数为 a 10 N 1.6圈 2
a

o
r
(4)为了图示清晰，将滑 轮放大为如图所示.
an a
a a 0.4m s 2
an r r t 0.32t m s
2 2 2 2

vi ri

m i
质元 转动平面
固定轴

合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt

t1
L2 L1
dL

L2

L1

J2

J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt

t1
L2 L1
dL

J22

J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm



r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度

解：方法1，分别取隔离体 方法 ， m2 讨论：若滑轮有质量， 讨论：若滑轮有质量，T1 ≠ T2
A B
m2 T2 T 1 m1 m1g m1
对 m1 对 m2
m1 g T1 = m1a
T2 = m2 a
a = Rα
1 a 对滑轮 T1 R T2 R = MR 2α 2 T2
T1
联立解得
2m1 g a= 2m1 + 2m2 + M
3 R
2
19
几种常用（有规则）的转动惯量： 几种常用（有规则）的转动惯量：
1 2 1 2 或 J= J = ml , ml 3 12
1 2 J = mR 2
J = mR
2
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
2 2 J = mR 5
转动惯量的性质： 转动惯量的性质： r R B m2 m1 A
4
§4.1 刚体定轴转动的运动学描述
一、刚体定轴转动的角量描述： 刚体定轴转动的角量描述： 定轴转动的角量描述
角位置θ 角位置θ
dθ 1 ω= (rad s ) dt
ω
O θ
M X
动 面 转 平0
M
θ
ω
ω
r
参考 方 向 X
v
一、刚体定轴转动的角量描述： 刚体定轴转动的角量描述： 定轴转动的角量描述
角坐标
θ =θ (t)
ω
O θ
M X
沿逆时针方向转动 θ > 0 沿顺时针方向转动θ < 0 角位移 θ =θ (t + t) θ (t)
ω
θ dθ 角速度矢量 ω = lim = t →0 t dt
方向: 方向 ω 右手螺旋方向， 逆时针： 右手螺旋方向， 逆时针： ω > 0