第一节导数的概念及运算
高考概览：1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝
x，y＝1
x，y＝x
2，y＝x3，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数
公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．
[知识梳理]
1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx＝lim
Δx→0
Δy
Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导
数，记作f′(x0)或y′|x＝x
，
即f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝lim
Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)
Δx.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点
P (x 0，y 0)处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f _′(x 0)(x －x 0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f _′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f _′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝f _′(u )u ′(x )，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积．
[辨识巧记]
1．三个注意点
(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与
乘法公式混淆．
(2)f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0.
(3)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．
2．两个结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( )
(2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列求导运算正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [解析] 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，所以选项A 不正确；因为(log 2x )′
＝1x ln2，所以选项B 正确；因为(3x )′＝3x ln3，所以选项C 不正确；因为(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 不正确．故选B.
[答案] B
3．(2019·陕西安康模拟)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．e C.ln22 D ．ln2 [解析] f ′(x )＝1·ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1
＝2，得x 0＝e.故选B. [答案] B
4．(2019·商丘二模)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
[解析] 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则
y 0＝1＋x 0.又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a
＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.
[答案] B
5．(选修2－2P 3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.
[解析] 由导数的物理意义可知，v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.
[答案] －9.8t ＋6.5 －9.8
考点一 导数的基本运算
【例1】 求下列各函数的导数：
(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；
(2)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝11－x ＋11＋x
； [思路引导] 先化简解析式→再求导
