中考数学一轮复习考点10分式方程

方法总结： 解分式方程一定要把整式方程的解代入最简公分 母检验.若最简公分母不等于0，则是分式方程的解； 若最简公分母等于0，则不是分式方程的解.
考点二 关于分式方程无解或存在增根的问题 例 2(2014·天水)关于 x 的方程axx－＋11－1＝0 有增根， 则 a＝________.
【点拨】∵关于 x 的方程axx－＋11－1＝0 有增根， ∴增根是 x＝1.把axx－＋11－1＝0 去分母，得 ax＋1－x＋ 1＝0，把 x＝1 代入，可得 a＋1－1＋1＝0，解得 a＝ －1.
A. 2 3x00＋213.30x0＝33 B. 2 3x00＋x2＋310.03x＝33 C. 2 3x00＋x4＋610.03x＝33 D. 4 6x00＋x2＋310.03x＝33
解析：设甲车间每天生产电子元件 x 个，则乙车 间每天生产电子元件 1.3x 个，甲、乙两车间每天生产 电子元件(x＋1.3x)个，根据题意可得方程为2 3x00＋ x2＋310.03x＝33.故选 B.
考点一 分式方程及其解法 例 1(2014·攀枝花)解方程：x－x 1＋x2－1 1＝1. 【点拨】本题考查分式方程的解法，关键是去分 母化为整式方程．
解：方程两边同乘(x2－1)，得 x(x＋1)＋1＝x2－1. 去括号，得 x2＋x＋1＝x2－1. 解得 x＝－2. 检验：当 x＝－2 时，x2－1≠0. 所以原分式方程的解为 x＝－2.
D．m＞2 且 m≠3
解析：去分母，得 m－3＝x－1，即 x＝m－2.∵方 程的解为非负数，∴m－2≥0，即 m≥2.又∵x－1≠0， 即 x≠1，∴m－2≠1，即 m≠3.∴m≥2 且 m≠3.
故选 C. 答案： C
9．(2013·泰安)某电子元件厂准备生产 4 600 个电 子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市 场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每 天生产的电子元件是甲车间的 1.3 倍，结果用 33 天完 成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个 问题中设甲车间每天生产电子元件 x 个，根据题意可 得方程为( )

2021春九年级数学中考一轮复习《分式方程的应用》自主复习达标测评（附答案）1．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A．8B．7C．6D．52．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑100米要用（）秒．A．12.5B．10C．D．3．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时4．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（）A．17小时B．14小时C．12小时D．10小时6．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工的玩具数为（）A．15B．20C．18D．177．某市为落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，那么汽车原来的平均速度为（）A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h8．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同，那么校车的速度是（）A．12千米/小时B．15千米/小时C．18千米/小时D．36千米/小时9．某村在退耕还林活动中，计划植树200亩，全村在完成植树40亩后，某环保组织加入村民植树活动，现植树速度是原计划植树速度的2倍，结果比原计划提前4天完成任务，那么原计划天完成任务．10．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．11．某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．超市两次销售这种干果共盈利元．12．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180km的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的 1.2倍行驶回到家里．那么来回行驶时间相差分钟．13．三八妇女节到来之际，某学校准备让办公室的王老师去给女教师们买点糖果作为礼物．王老师预先了解到目前比较受老师们喜爱的A、B两种糖果的价格之和为140元，他计划购买A糖果的数量比B糖果的数量多5盒，但一共不超过60盒．正当王老师去超市买糖果的时候，发现B正打九折销售，而A的价格提高了10%．王老师决定将A、B糖果的购买数量对调，这样，实际花费只比原计划多20元．已知价格和购买数量均为整数，则王老师原计划购买糖果的总花费为元．14．一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走．渔船继续向前行驶了15min 发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2km处追到救生圈．由此可知水流速度为km/h．15．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是km/h．16．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．则此商品的进价是．17．某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半小时，甲组每小时加工个零件．18．新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？19．某校组织八年级学生外出去博物馆参观，一部分学生步行，一部分学生骑车．已知骑车的路程是12km．而步行路程是骑车路程的．若骑车的速度是步行学生速度的2倍，且骑车时间比步行所需时间少用20分钟，求骑车的平均速度．20．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？21．甲乙两名工人各承包了一段500米的道路施工工程，已知甲每天可完成的工程比乙多5米．两人同时开始施工，当乙还有100米没有完成时，甲已经完成全部工程．（1）求甲、乙每天各可完成多少米道路施工工程？（2）后来两人又承包了新的道路施工工程，施工速度均不变，乙承包了500米，甲比乙多承包了100米，乙想：这次我们一定能同时完工了！请通过计算说明乙的想法正确吗？若正确，求出两人的施工时间；若不正确，则应该如何调整其中一人的施工速度才能使两人同时完工，请通过计算给出调整方案．22．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多5元，用400元购买的跳绳个数和用150元购买的毽子个数相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）学校准备一次性购买跳绳和毽子两种器材共120个，但总费用不超过600元，那么最多可购买多少根跳绳？23．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元．因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？参考答案1．解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：，由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为甲前两个工作日完成了，剩余的工作量甲完成了，乙在甲工作两个工作日后完成了，则+＝1，解得x＝8，经检验，x＝8是原方程的解．故选：A．方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天，则一天完成工作总量的，由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的，甲实际工作了（a﹣3）天，乙比甲少工作两天，实际工作了（a﹣5）天，即用甲的工作量加乙的工作量＝1，建立方程×（a﹣3）+×（a﹣5）＝1，∴a＝8，故选：A．2．解：设无风时的速度是x米/秒，风速是y米/秒，＝，x＝8y．又∵＝10＝10∴y＝1，∴x＝8．100÷8＝12.5（秒）．跑100米用的时间是12.5秒．故选：A．3．解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据题意得：＝，解得：x1＝1.8或x2＝9，经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故选：C．4．解：设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，根据题意可知：﹣1＝，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，故选：B．5．解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，依题意得：+＝1，整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，解得：x＝12，经检验，x＝12是所列分式方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；故选：C．6．解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具由题意得，＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，则35﹣x＝20，即甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．故选：A．7．解：设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝70，经检验：x＝70是原方程的解．即汽车原来的平均速度70km/h．故选：C．8．解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则校车的速度为2x千米/小时，根据题意得：﹣＝，解得：x＝7.5，经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，则2x＝15，即校车的速度为15千米/小时，故选：B．9．解：设原计划每天植树x亩，根据题意可得：﹣＝4，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的解，且符合题意，则＝10（天），即原计划10天完成任务，故答案为：10．10．解：设第一批进货的单价为x元/件，由题意2×＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次进货单价为40元/件，故答案为：40．11．解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据题意得：2×+300＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，∴＝＝600，＝＝1500．1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．答：超市两次销售这种干果共盈利5280元．故答案为：5280．12．解：设前一小时的行驶速度为xkm/h，根据题意可得：+1＝﹣，解得：x＝60，检验得：x＝60是原方程的根，即：前一小时的行驶速度为60km/h．所以﹣﹣＝（小时）＝10（分钟）．故答案是：10．13．解：设A糖果的单价为x元/盒，则B糖果的单价为（140﹣x）元/盒，计划购买A糖果a盒，则B糖果为（a﹣5）盒，x（1+10%）（a﹣5）+0.9（140﹣x）a﹣[xa+（140﹣x）（a﹣5）]＝20，解得x＝＝70+，∵x和a都是整数，且0＜2a﹣5≤60．解得a≤32.5，且﹣120＜2a﹣105≤﹣40．∴2a﹣105＝﹣110，﹣55，﹣50当2a﹣105＝﹣110时，a＝2.5，不合题意，舍去；当2a﹣105＝﹣55时，a＝25；当2a﹣105＝﹣50时，a＝27.5，不合题意，舍去∴a＝25．此时2a﹣5＝45．∴x＝70+＝60．王老师实际花费ax+（a﹣5）（140﹣x）+20＝140a+5x﹣680＝140×25+5×60﹣680＝3120．答：王老师购买糖果实际花费为3120元．故答案是：3120．14．解：设该河水流的速度是每小时x千米，渔船在静水中每小时游a千米．由题意，得＝﹣．解得：x＝4．经检验，x＝4是原方程的解．答：这条河的水流速度为4千米/小时．15．解：设乙车的速度为xkm/h，，解得，x＝60，经检验x＝60是原分式方程的根，∴1.2x＝1.2×60＝72，故答案为：72．16．解：设此商品的进价是x元，根据题意，得：＝﹣80，解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解，即此商品的进价是50元．故答案是：50元．17．解：设乙每小时加工的零件数为x个，则可得甲每小时加工零件数为（1+25%）x个．由题意可得方程：．解得：x＝400．经检验：x＝400是原方程的解，且符合题意．∴（1+25%）x＝1.25×400＝500．答：甲每小时加工500个零件，故答案为：500．18．解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意得：＝，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解，答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y天才能完成任务，＝5（套），即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y≥15500，解得：y≥9，答：至少还需要生产9天才能完成任务．19．解：设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，12×＝8，依题意得：﹣＝，解得：x＝6，经检验：x＝6是所列方程的解，且符合题意，则2x＝12，答：骑车学生的平均速度是12千米/小时．20．解：（I）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．21．解：（1）设乙每天施工x米，则甲每天施工（x+5）米，根据题意可得：解得：x＝20，检验：当x＝20时，x（x+5）≠0，∴x＝20是原方程的解，则x+5＝25（米）答：甲、乙每天各可完成25米，20米道路施工；（2）∵甲完成600米，需要天，乙完成500米，需要天，∴甲乙不能同时完工；方案一：将甲施工速度减少a千米/天，根据题意可得：解得：a＝1，经检验：a＝1是原方程的解，方案二：将乙施工速度增加b千米/天，根据题意可得：解得：b＝，经检验：b＝是原方程的解，综上所述：将甲施工速度减少1千米/天，将乙施工速度增加千米/天，22．解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+5）元，依题意，得：＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝8．答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为3元；（2）设跳绳能买y根，则毽子能买（120﹣y）个，依题意，得：8y+3（120﹣y）≤600，解得：y≤48，答：最多可购买48根跳绳．23．解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，∴由题意可知：，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，∴x﹣200＝800，答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：3a+3.5b＝4800，∴a＝1600﹣b，∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣b）﹣b＝200+，∵a≤1000，∴1600﹣b≤1000，∴b≥514，∵a，b是整数，∴b是6的倍数，∴b的最小值是516，∴1800﹣a﹣b≥286，答：药店捐赠口罩至少有286个．。

专题08 分式及分式方程聚焦考点☆温习理解 一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则;;bc adc d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n nn = ;c b a c b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

名师点睛☆典例分类考点典例一、分式的值【例1】（2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x－22x＋5的值为0．【答案】2. 【解析】试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】1.（2016四川甘孜州第2题）使分式11x-有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A．考点：分式有意义的条件．2.若分式211xx-+的值为0，则x＝【答案】1 【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，211xx-+＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解. 答案为1.考点：分式方程的解法 考点典例二、分式的化简【例2】（2016黑龙江绥化第9题）化简2(1)1a a a -+-的结果是（ ） A ．11a - B ．11a -- C ．211a a -- D ．211a a --- 【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=22(1)1a a a ---=11a -，故选A ．考点：分式的加减法．【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。