《数学选修2-2》推理与证明
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)
1、 下列表述正确的是( ).
①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③
B.②③④
C.②④⑤
D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 3、在中,,则一定是( )
Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )
A.直线a,b,c ,若a 推出:向量a,b,c ,若a 一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a 推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a C.实数,a b ,若方程2
0x ax b ++=有实数根,则
24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程 20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.
D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为2
2
2
x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2
2
2
2
x y z r ++=.
5、(1)已知,求证,用反证法证明时,可假设;(2)已知,,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1,即假设,以下结论正确的是( )
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:,,,,则可归纳出式子为( ) Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 7、已知扇形的弧长为,所在圆的半径为,类比三角形的面积公式:底高,可得扇形的面积
公式为( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.不可类比
8、定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的 ( )
(1) (2) (3) (4) (A) (B)
A. B. C. D.
9、观察下列各式:,,,,,可以得出的一般结论是( ) A. B.
C. D.
10、用数学归纳法证明,从到,左边需要增乘的代数式为( ) A. B. C. D. 11、正整数按下表的规律排列
则上起第2009行,左起第2010列的数应为(
)
A.2
2009
B.2
2010
C.20092010+
D.20092010⨯
12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:
现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)
13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:,,,
1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21
解密密钥密码
加密密钥密码
明文
密文
密文
发送
明文
,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .
15、已知命题:“若数列是等比数列,且,则数列也是等比数列”.可类比得关于等差数
列的一个性质为________________________________.
16、若数列{}n a 的通项公式)()1(1
2
+∈+=
N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,
试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、(12分)
已知:2
3150sin 90sin 30sin 222=++ο
οο 2
2
2
3sin 10sin 70sin 1302++=
o
o
o
2
3
125sin 65sin 5sin 222=++οοο
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.
18、(12分)
如图(1),在三角形中,,若,则;若类比该命题,如图(2),三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有什么结论命题是否是真命题.
19、(12分)
已知实数满足,,求证中至少有一个是负数.
20、(12分)
已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.
(1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.
21、(12分)
已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+
∈≠N n m n m ,
则m n ma nb a m n
+-=
-”.现已知数列{}),0(+
∈>N n b b n n 为等比数列,
且,a b m =b b n =),,(+
∈≠N n m n m .
(1)请给出已知命的证明;
(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.
22、(14分)
在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成,在上定义一个运算,记为e ,对于中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=e
(,)ad bc bd ac +-.
(1)计算:e ;
(2)请用数学符号语言表述运算e 满足交换律,并给出证明;
(3)若“中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有αe e αα=成立”的充要条件,试求出元素I .
参考答案
由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确. 由分析法的定义知A 正确.
由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.
若向量b =0,则a 200(1)0x ix i ++-±=2
4a b ≥(,,)P x y z OP r
=r = 用
反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以 的假命题应为
