2019年北师大版初中七年级数学下册6.难点探究专题：全等三角形中的动态问题
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难点探究专题：全等三角形中的动态问题
◆类型一 全等三角形中的动点问题
1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．
2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
◆类型二 全等三角形中的动图问题
3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.
(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE； (2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．
◆类型三 全等三角形中的翻折问题
4．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．解：∠PAM＝∠PBM.理由如下：∵NA＝NB，MA＝MB，MN是公共边，∴△AMN≌△BMN(SSS)，∴∠MAN＝∠MBN，∠MNA＝∠MNB.又∵NA＝NB，PN是公共边，∴△PAN≌△PBN(SAS)，∴∠PAN＝∠PBN.∴∠PAM＝∠PBM.
2．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF
(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.在△DAB与△FAC中，AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，AB＝AC，∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.
3．解：(1)∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°.∵点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD＝120°.在△ACD与△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.
(2)成立．理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD.又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.
4．解：DE＋BF＝EF.理由如下：延长CB至G，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，∠EAF＝12∠DAB，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG＝90°＝ADE.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠EAF.在△AGB和△AED中，∠GAB＝∠EAD，AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∴△AGB≌△AED(ASA)，∴AG＝AE，BG＝DE.在△AGF和△AEF中，AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)，∴GF＝EF，∴BG＋BF＝EF，∴DE＋BF＝EF.
