绝对值不等式（一）
绝对值不等式cbxaxcbxax
绝对值的几何意义：a的几何意义是：数轴上表示数轴上点a到原点的距离；
ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab两点的距离。
ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab的两点的距离。
xaxb的几何意义是：数轴上表示点x到,ab的两点的距离和，故babxax
利用图像和几何意义解cbxax或cbxax的解集。
分区间讨论：bxbaxbxaabaxbaxbxax22
cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxc II.当0＜c时，不等式解集为：空集
cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxcbax或 II.当0＜c时，不等式解集为：全体实数
例1：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a≤3即可．
若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|
解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，
又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.
例2：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
例3：不等式|x＋1|＋|x－1|<3的实数解为________．
解：当x>1时，原不等式等价于2x<3⇒x<32，∴1－32，∴－32
例4：已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图像的上方，求m的取值范围．
1 1.2.2 绝对值不等式的解法
课堂导学
三点剖析
一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)
【例1】 解下列不等式:
(1)1<|x+2|<5;
(2)|3-x|+|x+4|>8.
解析：(1)法一:原不等式.37,31525125|2|1|2|xxxxxxx或
故原不等式的解集为{x|-1
法二:原不等式521,02521,02xxxx或,
37,231,2xxxx或-1
∴原不等式的解集为{x|-1
(2)法一:原不等式,843,34843,4xxxxxx或
.72,387,34821,4843,3xxxxxxxx或或或
∴x>27或x<29.
∴原不等式的解集为{x|x<29或x>27}.
法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,
构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,
即y=.3,72,34,1,492xxxx
作出函数的图象如图.
从图象可知当x>27或x<29时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29}.
温馨提示 2 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.
各个击破
类题演练1
解下列不等式:
(1)|432xx|≤1;
(2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.
解析:(1)原不等式016172)4(904242222xxxxxx
161222xxx或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.
故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.
(2)由x+3=0,得x1=-3,
1设函数f(x)中含有绝对值，则(1)绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.
2.f(x)>a有解⇔f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．
3.不等式恰成立问题
(1)不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＞A的解集为D；
(2)不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＜B的解集为D.
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x|
|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
1.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，则实数a的取值范围是________.
2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A.[－2，1)∪[4，7) B.(－2，1]∪(4，7] C.(－2，－1]∪[4，7) D.(－2，1]∪[4，7)
3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是( )
A.[－5，7] B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，＋∞)
4.已知不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1.
绝对值不等式的证明及应用
一、绝对值有关性质回顾： ①(0)
0(0)
(0)aa
aa
aa
②
abab
,a
a
bb
(0)b ③2
2
aa ④
0a ⑤
aaa ⑥
xaaxa
xaxaa或
二、绝对值不等式：
定理：绝对值三角不等式：
ababab.(代数形式)
ababab
(向量形式)
几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
定理的证明分步如下
定理1（右边）：
(0ababab取等号）
证明:方法一： 2
2
+abab,
2222
+22aabbaabb,
22abab, 而22abab显然成立,∴
(0ababab取等号）
||()
||||||||
(||||)
||||abab
aabb
aabb
ab
ab2
22
22
22
2
||()
||||||
||||||||
(||||)
||||abab
aabb
aabb
aabb
ab
ab2
22
22
22
22
2
2
方法二：（选修4-5证法）
当ab≥0时, ||,abab
||,abab
当ab＜0时,
综上，
abab
0ab当时，取等号，
方法三：（原人教版教材证法）
∵aaa
①
bbb
②
①+②：
()ababab， 逆用性质
xa得：
abab
推论1：
123123.......
naaaaaaa ，当
123,,,......
naaaa都非正或都非负时。
定理2（左边）：
abab.
证明:方法一:当
0ab时显然成立,当
0ab时，两边平方,
2
2
abab,
2222
22aabbaabb,
22abab, 而
22abab显然成立,∴
abab,(当
0ab时取等号).
方法二:直接利用定理1
