导数小题中构造函数的技巧(打印版)

导数小题中构造函数的技巧

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。（一）利用)(x f 进行抽象函数构造

1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )

(),(；这类形式是对v

u v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v

u

v u ,

⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，v

u

型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当

导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现

的是“－”法形式时，优先考虑构造v

u

，我们根据得出的“优先”原则，看一看

例1，例2.

【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0

0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________

❀❀❀思路点拨：出现“+”形式，优先构造)()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

【解析】构造)()(x xf x F =，则)()()(''x xf x f x F +=，当0

0)4(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x xf 的解

集为)4,0()4,(⋃--∞.

【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0

0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________

❀❀❀思路点拨：出现“-”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

x

x f x F )

()(=【解析】构造x x f x F )()(=，则2

''

)()()(x x f x x f x F -⋅=，当0

0)()('>-x f x xf ，可以推出0x F ，)(x F 在)0,(-∞上单调递增.∵)(x f 为

偶函数，x 为奇函数，所以)(x F 为奇函数，∴)(x F 在),0(+∞上也单调递减.根据

0)1(=f 可得0)1(=F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x f 的解集为),1()1,(+∞⋃--∞.

x

x f x xf )

(),

(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.

)

()(x f x x F n =，)]()([)()()('

11'x f x nf x x f x x f nx x F n n n +=+=--；n x

x f x F )()(=，1

'21''

)()()()()(+--=-⋅=n n n n x x nf x xf x x f nx x x f x F ；结论：

出现)()('x xf x nf +形式，构造函数)()(x f x x F n =；出现)()('x nf x xf -形式，构造函数n x

x f x F )

()(=

.我们根据得出的结论去解决例3题

【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________

❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf -”形式，优先构造然后利用

函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

n

x x f x F )()(=

【解析】构造2)()(x x f x F =，则3

''

)(2)()(x

x f x x f x F -⋅=，当0>x 时，0)(2)('<-x f x xf ，

可以推出0>x ，0)('

0)1(=-f 可得0)1(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x f 的解集为)1,0()0,1(⋃-.

【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e

e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值

B 、有极小值，无极大值

C 、既有极大值又有极小值

D 、既无极大值也无极小值

❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”形式，为3=n 时情况，优先构造n

x x f x F )

()(=，然后利用积分、函数的性质求解即可.

【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(

❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”形式，优先构造)2()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意0)2(=-f 和)(x F 的转化.

【解析】构造)2()(x xf x F =，则)2()(2)(''x f x xf x F +=，当0

0)2()(2)(''<+=x f x xf x F ，可以推出0

∵)(x f 为奇函数，x 为奇函数，所以)(x F 为偶函数，∴)(x F 在),0(+∞上单调递增.根据0)2(=-f 可得0)1(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)2(