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基于蒙特卡洛方法的超市收银排队问题动态
仿真
作者：焦树锋
来源：《商业时代》2010年第29期
◆ 中图分类号:F713 文献标识码:A
内容摘要:本文根据超市顾客到达的随机性和服务时间的随机性,用蒙特卡洛方法模拟不同
的顾客到达和服务水平,在MATLAB/Simulink上对超市单队列多收银台的服务系统进行了动态
模拟仿真,得到不同顾客到达率和不同服务水平下,顾客的排队等待时间,服务器的空闲率等要
素。综合考虑顾客等待成本和商场的成本效益,进而得出超市为满足一定服务水平应该开设的
服务器个数。
关键词:动态模拟 蒙特卡洛模拟 排队论
在超市收银排队系统中,顾客希望排队等待的时间越短越好,这就需要服务机构设置较多的
收银台,这样可以减少排队等待时间,但会增加商场的运营成本。而收银台过少,会使服务质量降
低,甚至造成顾客流失。如何科学合理地设置收银台的数量,以降低成本和提高效益,是商场管理
人员需要解决的一个重要问题。
蒙特卡洛方法简介
蒙特卡洛方法又称随机模拟方法,它以随机模拟和统计试验为手段,从符合某种概率分布的
随机变量中,通过随机选择数字的方法,产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列,
作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解(杜比,2007)。在应用该方法时,要求产生的随机
数序列应符合该随机变量特定的概率分布。应用该方法的基本步骤如下:
步骤1:建立概率模型,即将所研究的问题变为概率问题,构造一个符合其特点的概率模型;步
骤2:产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列;步骤3:以随机数值序列作为系统
的抽样输入进行大量的数字模拟试验,以得到模拟试验值;步骤4:对模拟试验结果进行统计处理
(如计算频率、均值等),进而对研究问题做出解释。
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基于排队理论的仿真模型建立
(一)超市服务排队模型(M/M/C)
超市收款台服务是一个随机服务系统(唐应辉,2006),该系统具有如下特征:服务的对象是已
经选购好商品的顾客,顾客源是无限的,顾客之间相互独立,顾客相继到达的时间间隔是随机的。
系统有多个服务员且对每个顾客的服务时间是相互独立的。服务规则遵从先到后服务(FCFS)的
原则。每个收款台前都有排队队列,顾客选择较短的队列排队等候,这样形成单队列多服务员
(M/M/C)的排队系统。超市收银台顾客排队系统结构见图1。
(二)产生随机数值序列
由于顾客到达间隔时间和顾客服务的时间服从负指数颁布的随机数。令这个负指数分布的
随机数为x,负指数分布密度函数为:,其分布函数为:,F(x)的反函数为。设u为[0,1]区间上的独
立、均匀分布的随机变量,则所求随机数为,进而简化得,这样得到负指数分布的随机数(吴
飞,2006)。
针对商场顾客到达和服务水平的统计数据,据此可产生两个随机数列:顾客到达时间间隔a(i)
和顾客服务时间st(i),以此数值序列进行动态输入仿真。
(三)模型变量设置
仿真系统模拟
(一)超市收银台服务仿真模拟
解决超市收银台顾客排队问题,关键是要测量常态下需要多少收银台才是适宜的。根据商
场收银台服务统计数据,可以测算出超市收银员的服务率、顾客到达率,然后通过仿真方法测量
出超市提供多少收银台才最适宜。基本步骤如下:
系统经过较长时间运行后达到平稳。
根据实际考察,一周之内,双休日及节假日的客流量剧增,而在一天之中顾客的到达也出现几
个高峰期,所以,作如下改进:将一天分为四个时段(9:00-12:00,12:00-14:00,14:00-18:00,18:00-
21:00),首先调查其中一个时段(以第三时段为例)周一至周五的工作状况,调查数据如表1所示。
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根据统计数据得到了单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t,然后利用χ2拟
合检验(包科研、李娜,2008),得到单位时间的顾客到达数服从Possion分布,服务时间服从负指数
分布。
根据资料统计得到单服务台服务强度为每小时49人,即μ=49,到达速率每小时277人,即
λ=277。设定顾客平均等待时间小于5分钟,模拟次数1000次,模拟超市应设置多少收银台。同
时,这里的μ和λ可以根据不同时段的实际情况变化,以模拟在不同到达速率和服务强度下的工
作状态。
(二)仿真程序设计
首先顾客按规定的到达模式产生到达,同时按规定的服务模式产生服务时间,然后判断是否
有空闲的服务台。有,则直接接受服务而不需进入队列等待;否则,顾客将进入队列等待服务。顾
客选择等待服务台队列时,以最早接受服务为标准,此前要计算各服务台进入空闲的时间。仿真
钟采用事件调度法,以顾客到达为驱动。一个顾客进入系统后,按仿真方法和流程计算其服务时
间与离开时间后,驱动下一个事件(下一个顾客的到达)的发生。
在仿真过程中还要对服务台利用率、队列长度、顾客等待时间等进行统计以达到仿真目的,
如图2所示。
该模型(M/M/C)以第三时段为例,顾客随机性到达,到达模式服从泊松分布λ=277;服务时间
也是随机的,服从指数分布,每小时服务人数为μ=49;纪录到2000名顾客时模拟终止,仿真采用基
于事件(基于顾客)的方法。本文以MATLAB7.0/Simulink6.0仿真系统为工具进行动态模拟仿真
(黄永安,2007),仿真次数1000次,结果取平均值。
(三)仿真结果
结果分析:由表2中数据可以发现,在顾客到达为277人/小时,单服务服务强度49人/小时的
情况下,开设5个窗口时,服务器几乎没有空闲,顾客的等待时间超过1小时;而开设11个窗口时,
顾客几乎不用等待,服务器平均闲置率超过50%;综合考虑顾客的等待成本和商场的服务成本,商
场应开设7个窗口,此时服务器忙碌概率为83.49%,平均每个顾客等待时间为47.09秒,这种情况
下商场和顾客均可接受。
根据相同的方法,可以针对不同时段的客流量和服务水平的变化进行动态仿真,得到不同状
况下商场应该设置多少个收款台、多少个收款服务员,才能适合变化的客流,提高客流服务量,增
加效益。
综上,由于随机服务系统本身的概率规律性,要用解析的方法来处理一个复杂的随机服务系
统十分困难,而模拟因自身的特点成为解决这一问题的很好的方法。本文介绍的仿真方法具有
一定的普遍性,大型商场、大型银行和医院等收费系统均可借鉴此模型,实现自身系统的优化,对
于指导生活、生产具有重要的现实意义。
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参考文献:
1.杜比.蒙特卡洛方法在系统工程中的应用[M].西安交通大学出版社,2007
2.唐应辉.排队论[M].科学出版社,2006
3.吴飞.产生随机数的几种方法及应用[J].数值计算与计算机应用,2006.3
4.包科研,李娜.数理统计与MATLAB数据处理[M].东北大学出版社,2008
5.黄永安等.MATLAB7.0/Simulink6.0建模仿真开发与高级工程应用[M].清华大学出版
社,2007
