2018年湖南省高中数学联赛B卷+Word版含答案

2018年湖南省高中数学联赛（B）卷试题

第Ⅰ卷（共70分）

一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1.设集合23100Axxx，121Bxmxm，若ABB，则实数m的取值范围为

．

2.如果函数3cos2yx的图像关于点4,03中心对称,那么的最小值为 ．

3. 如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数fx，则fx ．

4. 已知二面角l为60，动点P，Q分别在面，内，P到的距离为3，Q到的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为 ．

5. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．

设nA是第n次挖去的小三角形面积之和（如1A是第1次挖去的中间小三角形面积，2A是第2次挖去的三个小三角形面积之和）.则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为 ．

6.若333sincos3xx，则20182018sincosxx的值为 ．

7.如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C滚动时的曲线为yfx，则fx在2017,2018上的表达式为 ．

8.四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 ．

9.设1ab，0b，0a，则21aab的最小值为 ．

10.设,abR，ab函数maxatbgxxtxR（其中maxatb表示对于xR，当,tab时表达式xt的最大值），则gx的最小值为 ．

第Ⅱ卷（共80分）

三、解答题 （本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

11. 如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，//ABDC，ADDC，1ABAD，2DCSD，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

（Ⅰ）证明：2SEEB；

（Ⅱ）求二面角ADEC的大小.

12. 棋盘上标有第0,1,2,,100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为nP.

（1）求3P的值；

（2）证明：1112992nnnnPPPPn；

（3）求99P，100P的值.

13. （1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有

2222PAPCPBPD.

试证明该命题；

（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明；

（3）将矩形ABCD进一步推广到长方体1111ABCDABCD，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.

14. 设曲线2:1625616Cxyy所围成的封闭区域为D.

（1）求区域D的面积；

（2）设过点0,16M的直线与曲线C交于两点P，Q，求PQ的最大值.

试卷答案

一、填空题

1.3m 2.6 3.sincosxx 4.23

5.33144n 6.1

7.2504.41220162016fxfxxx

8.23 9.221 10.2ba

二、解答题

11.解：以D为坐标原点，射线DA，DC，DS分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系Dxyz，

设1,0,0A，则1,1,0B，0,2,0C，0,0,2S.

（1）证明：0,2,2SC，1,1,0BC，设平面SBC的法向量为,,nabc，由nSC，nBC，

得到0nSC，0nBC，故0bc，0ab，取1abc，则1,1,1n，又设

0SEEB，则

2,,111E，2,,111DE,0,2,0DC

设平面CDE的法向量为,,mxyz，由mDE，mDC，得到0mDE，0mDC，故 20111xyz，20y，令2x，则2,0,m，由平面DEC平面SBC，得到mn，

所以0mn，20，2，故2SEEB.

（2）解：由（1）知222,,333DE，取DE的中点F，则111,,333F，211,,333FA，故0FADE，FADE，又242,,333EC，故ECDE，因此向量FA与EC的夹角等于二面角ADEC的平面角，于是

1cos,2FAECFAECFAEC，所以二面角ADEC的大小为120.

12.解：（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此358P.

（2）易知棋子先跳到第2n站，再掷出反面，其概率为212nP；棋子先跳到第1n站，再掷出正面，其概率为112nP，因此有1212nnnPPP，即

11212nnnnPPPP，

或即1112992nnnnPPPPn.

（3）由（2）知数列11nnPPn为首项为1011122PP，公比为12的等比数列，因此有

11101122nnnnnPPPP.由此得到

999899100111211=122232P.

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232PP.

13. （1）证明：如图1，设在直角坐标平面中，矩形ABCD的顶点坐标为 ,Aab，,Bab，,Cab，,Dab，点,Pxy是直角坐标平面上的任意一点，则

22222222222PAPCxaybxaybxyab，

22222222222PBPDxaybxaybxyab，

故2222PAPCPBPD.

（2）推广命题：若棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，则有

2222PAPCPBPD.

证明：如图2，设棱锥PABCD的底面ABCD在空间直角坐标系的xOy平面上,矩形ABCD的顶点坐标为,,0Aab，,,0Bab，,,0Cab，,,0Dab，设P点坐标为,,Pxyz，则

2222222200PAPCxaybzxaybz

222222xyabz

2222222200PBPDxaybzxaybz

222222xyabz，

故2222PAPCPBPD.

（3）再推广命题：设1111ABCDABCD是长方体，P是空间上任意一点，则

222222221111PAPCPBPDPBPDPAPC.

证明：如图3，由（2）中定理可得

2222PAPCPBPD和22221111PAPCPBPD，

所以222222221111PAPCPBPDPBPDPAPC.

14. 解：（1）由题设，有256160y，因此1616y.

若221616xyxy，则当016y时，22161625616xyxyy，2256x，此时

16016xy，图像是两条直线段；

当160y，22161625616xyxyy，28832xyy，对应于一段二次函数的图像；

若221616xyyx，则当016y时，类似于前面的推导得2832xy，对应于二次函数图像的一段：28832xyy；

当160y，22161625616xyyxy，得到2256x，无解.

综上所述，区域D的集合为：22,1616,883232xxDxyxy，由区域D上函数图像性质，知区域D的面积为3216512S.

（2）设过点0,16M的直线为l，为了求PQ的最大值，由区域D的对称性，只需考虑直线l与D在y轴右侧图像相交部分即可.设过点0,16M的直线l方程为16ykx，易知此时l与D相交时有1k.

①当2k时，l与D分别相交于二次函数2832xy以及2832xy，两个交点分别为 222161,1611Pkkkkk，222163,1631Qkkkkk

因此，22216131PQkkk，为关于k的递减函数.

②当12k时，直线l与D分别相交于二次函数2832xy以及直线16y，从图形性质容易看出，随着k从2变到1，PQ的值逐步减少.

综上，当l经过直线16x与二次函数2832xy曲线交点16,16Q时，PQ的值最大，此时直线l方程为：216yx,1623,16323P，PQ的值为

2216323161623161620103.当PQ落在y轴上时，

241620103PQ，因此PQ的最大值为1620103.