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矩阵有理标准形的性质研究及其应用

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第３１卷第２期　２０１５年４月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．３１，№．２　

Ａｐｒ．２０１５　

矩阵有理标准形的性质研究及其应用　李绍刚　（１．桂林电子科技大学数学与计算科学学院；　２．广西密码学与信息安全重点实验室，广西桂林５４１００４）　

［摘要］研究了矩阵的有理标准形理论，给出了友矩阵的主要性质和判断其相似对角化的条件，证明了　线性定常系统的能控性，研究了伪随机数的生成过程和周期性，并对其在自动控制和计算机科学领域的应用　做了一定的解读，最后用实例验证系统的有效性．　［关键词］友矩阵；有理标准形；状态方程；能控系统；伪随机数　［中图分类号］Ｏ１５１．２１　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１５）０２—００７６—０８　

１　引　言　矩阵的相似标准形理论应用非常广泛，复数域上任何一个矩阵均相似于一个若当标准形，任何数域　上的矩阵则相似于一个有理标准形，可以证明一个复矩阵的有理标准形和其若当标准形是相似的，见文　献［１］，由于没有数域上的限制，有理标准形在很多学科得到了广泛的应用，比如在微分方程组的计算　Ｅ２］，群的构造Ｅ３］，对于有理标准形的Ｍａｔｌａｂ软件计算，文献［４］给出了相应的算法，在计算机上可以轻　松实现，以上均可以说明其应用是比较广泛的．　本文首先研究有理标准形的友矩阵的性质，其次研究了有理标准形在自动控制领域中状态方程的　计算方面、计算机科学中的伪随机数生成器方面等的应用，最后进行了总结和归纳．　

２　基本理论　２．１　基本概念　定义１嘲　对数域Ｐ上的一个多项式ｄ（　）＝＝：　＋ａ　＋…＋ｎ　称矩阵　

Ａ：＝　为多项式　（　）的伴侣阵，又称作友矩阵．　定义２［　下列准对角矩阵　

Ｂ＝＝　Ａ１　Ａ２　（２）　

［收稿日期］２０１４一】２—２０；　［修改日期］２０１５—０３—２８　［基金项目］广西区精品课程线性代数项目；线性代数课程与工程应用型人才培养相结合的混合教学模式研究项目　

０　Ｏ０　１１　Ｏｏ　Ｏ第２期　李绍刚：矩阵有理标准形的性质研究及其应用　７７　称为Ｐ上的一个有理标准形矩阵，其中Ａ　分别是数域Ｐ上某些多项式ｄ　（　）（　一１，２，…，ｓ）的伴侣阵，　且满足ｄ　（　）『ｄｚ（　）『．．·Ｉ　ｄ　（　），ｄ　（　），ｄ　（　），…，ｄ　（　）的次数之和为ｎ．　

友矩阵在有理标准形中起着至关重要的作用，其主要性质总结归纳如下：　

Ａ＝　性质２有理标准形矩阵Ｂ的不变因子为１，１，…，１，ｄ　（　），ｄ　（　），…，ｄ　（　），其中１的个数等于　性质３多项式　（　）的友矩阵Ａ的行列式ｄｅｔ（Ａ）一（一１）　口　．利用性质３易知　

Ａ　一　性质５　多项式　（Ａ）的友矩阵Ａ的特征多项式与最小多项式为　（　）一－厂（　）＝　＋ａｌ　一　＋…＋口　．　性质１—５易证，证明从略．　２．３基本定理　定理１　数域Ｐ上　×ｎ方阵Ａ在Ｐ上相似于唯一的一个有理标准形Ｂ，称为Ａ的有理标准形．　有理标准形的具体计算步骤如下：　步骤１　求出Ａ的不变因子为ｄ　（　），ｄ　（　），…，ｄ　（　）；　步骤２对每个次数大于０的不变因子ｄ　（　）写出其对应的友矩阵Ａ　（　＝１，２，…　）；　

步骤３按顺序写出Ａ的有理标准形　Ａ１　Ａ２　

利用以上３个步骤可以方便快捷的计算方阵的有理标准形，举例如下：　２．４基本例题　例１　设６阶矩阵Ａ的不变因子为１，１，１，　一１，（　一１）（　＋２），（　一１）　（　＋２），求Ａ的有理　标准形．　解　由不变因子可知三个伴侣阵为　ｒ　ｏ　１　Ｏ］　Ａ　一　］，　Ａ　＝［；　一二　］，　Ａ。一Ｉ。　。　Ｉ，　

Ｌ一２　３　Ｏ＿Ｉ　故可得Ａ的有理标准形为　

Ｏ　１　２　—１　Ｏ　１　０　Ｏ　Ｏ　１　２　３　０　

０　ｏ　～　ｏ　０　ｏ　～　～　～　～　～　～　ｏ。；ｏ　一　ｏ　．。　一　０～０　７８　大　学　数　学　第３１卷　例２求矩阵　厂０　Ａ—Ｉ　３　Ｌ一１　

１　—１＿　２　０　ｌ　１　—１　ｌ　的有理标准形．　解Ａ的不变因子为　ｄｌ（　）一１，ｄ２（　）一１，ｄ３（　）一（　一１）（　十４２＋２）一　。＋３２　一２２—２．　故Ａ的有理标准形为　

３重要应用　３．１在自动控制领域中的应用　３．１．１基本概念与引理　定义３［　以状态变量　（￡），ｚ。（　），…，　（ｆ）构成的　维空间称为状态空间．　系统在任意时刻的状态向量　（　）在状态空间中是一个点，系统随时间的变化过程，使　（　）在状态　空间中描绘出一条轨迹．　定义４＿６　将反映系统动态过程的微分方程或传递函数，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩　阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程．　ＪＣ（ｔ）＝＝＝Ａ　（　）＋Ｂｕ（ｔ），　（￡）一　（　），　其中　（　）和主（￡）表示状态向量及其一阶导数，Ｕ（￡）和Ｙ（ｔ）分别表示系统的输人变量和输出变量，　Ａ∈　，口∈　，Ｃ∈　．　系统的能控性指的是控制作用对被控系统状态进行控制的可能性，对于给定的系统称其完全能控　是指对任意初始时刻的任意一个初始状态总可以找到一个容许控制使系统在有限时间内达到目标　状态．　引理１　Ｌ６］（代数判据）　线性定常系统单输入系统　ｘ（　）一Ａ　（ｚ）＋ｂｕ（　），　Ａ∈　，ｂ∈　”．　其状态完全能控的充条件是由Ａ，ｂ构成的能控性判别矩阵　Ｑ　＝＝＝（ｂ，Ａｂ，Ａ　ｂ…Ａ一　）　是行满秩矩阵，即有ｒａｎｋ（Ｑ　）＝　．　引理２［。　线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变．　引理３［６］（模态判据）　线性定常系统单输入系统　主（￡）一Ａ　（　）＋ｂｕ（ｔ），　ＡＥ　，ｂＥ吨　．　其状态完全能控的充要条件是系统矩阵Ａ的所有特征值Ｊ＝【　（ｉ一１，２…　）满足　ｒａｎｋ（２　Ｅ—Ａ，　）一７２，　ｉ＝１，２…　．　代数判据的优点是方便计算，缺点是无法确定状态空问中哪些变量（特征值、极点）能控；模态判据　的优点是易于确定哪些变量能控，缺点是需要求系统的特征值．这两类方法优势互补，可根据实际情况　选择合适的方法．　３．１．２状态方程的建立　下面以控制系统状态方程为例给出线性定常连续与离散系统状态空间方程的构造过程．　为方便起见，记号如下：　

解　求　的　子　因　变　不　阵　矩　于　赖　依　］●，副算　Ｏ　一计　的　１　Ｏ　２形　Ｏ　０　２准　

标　

理　有　的　阵　钳　现　发　难　不　题　例　个　两　－Ｌｊ　以　从　第２期　李绍刚：矩阵有理标；隹形的性质研究及其应用　７９　（￡）一　，　Ａ一　０　０　Ｏ　—ａ　（是＋１）一　１　０　

０　口ｎ　１（　＋１）　

２（　＋１）　

ｚ　一１（　＋１）　（是－Ｉ－１）　

（忌）一　

情形１　线性定常连续系统状态方程　（ｉ）　＋ｎ１　‘　一　＋以２　选取　和Ｙ“’为系统状态向量，记　

（ｔ）一　．　西一　Ｃ—Ｅ１，０，０…ｏ　ｌ，ｄ—ｂ。．　＋…＋ｎ　一１　＋ｎ　Ｙ—Ｕ．　ｚ１一　，　ｚ２一　，　ｚ３＝：：　姑　，…，　＝　一”

则上述方程可化为　个一阶常微分方程　Ｚ１　Ｚ２，　２　Ｚ３，…，　Ｚ　一ａ　１一ａ　一１Ｚ２一ａ　一２Ｘ３…一ａｌ　”十　’　写成矩阵形式为　ｆ　（　）＝＝＝Ａｘ（ｔ）＋６“（￡），　ｌＹ（￡）＝＝＝　（￡）．　（ｉｉ）作用函数含导数项　

Ｙ　＋口１　＋ｎｚ　＋…＋口　一ｌ　＋口　一６。　＋６１　十…＋６　一１　十６　选取　和Ｙ“’为系统状态向量，记　ｚｌ—　，　３２２一　，　３一　，…，ｚ　一　’则上述方程可化为　个一阶常微分方程　ｌｚ１　２＋ｈ１　Ｕ，　２一ｌｚ３＋ｈ２　，…，　ｚｎ一一ａ＂ｚ１一ａ”１ｚ２一ａ＂２ｚ３…一ａ１　ｎ＋ｈ　Ｕ，　其中　ｈ１一ｂ１一ａ１ｂｏ，ｈ２一（６２一ａ２ｂ０）一ｎｌ　ｈ１…ｈ　一（６　一ａ　ｂｏ）一口　一１ｈ１一…一ａｌｈ　一１．　矩阵形式为　ｆ　（ｆ）一Ａ　（　）＋ｂｕ，　ｌ　Ｙ（￡）＝＝＝Ｃｘ（　）＋ｄｕ．　情形２线性定常离散系统状态方程　（ｉ）作用函数不含未来项　（愚＋　）＋ａ１　（　＋　一１）＋…＋ａ　选取状态变量为　１（忌）一．ｙ（是），　２（是）一ｙ（ｋ＋１），　根据离散系统差分方程可得状态方程　１　（忌＋１）＋ａ　Ｙ（矗）一“（是）．　

，ｚ　（志）一ｙ（ｋ＋　一１），　ｚ１（忌＋１）一ｚｚ（忌），　ｚ２（是＋１）一ｚ。（愚＋１），　

ｚ　（志＋１）一一ａ　ｚ１（忌）一ａ　１ｚ２（忌）一…一ａ２ｚ　一１（　）一ａ１ｚ　（忌）＋ｕ（ｋ）．　矩阵形式为　ｆ　（走＋１）一Ａｘ（ｋ＋１）＋ｂｕ（是），　Ｉｙ（ｋ）＝＝＝Ｃｘ（ｋ）．　（ｉｉ）作用函数含未来项　

ｌ　ｈ２　：　ｈ一１　ｈ　

ｌ　２　一　”　ｚ　ｚ；　●））　忌）　Ｏ　Ｏ　；　一　１　２　一　＂　ｚ　．　Ｏ　１；Ｏ　一　

ｚ；

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矩阵的标准型

矩阵的标准型

第三章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
（ -matrix and Jordan Canonical Form）
教学目的
➢ 理解矩阵的定义及不变因子 ➢ 掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形 ➢ 理解行列因子、初等因子及相关理论 ➢ 掌握求矩阵的Jordan标准形的方法 ➢ 了解Cayley -Hamilton定理
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
di+1()=Di+1 ()/Di(), (i=1,2,…r-1)
定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。
定理3 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。
一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特 殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。
d2()= ,d1()=1
因此A()的Smith标准形为
(完整word版)矩阵等价标准形及其应用

(完整word版)矩阵等价标准形及其应用

矩阵等价标准形及其应用学生： 姜旭东 指导教师 ： 张姗梅（太原师范学院 数学系 数学与应用数学专业 20041011班)摘要 矩阵的等价关系是矩阵理论中最基本的一个概念，本文利用矩阵的等价标准形，给出矩阵的分解、矩阵方程、矩阵秩的讨论、以及线性方程组解的理论.本文给出了矩阵的满秩分解定理,并通过例子给出求矩阵满秩分解的方法；并举例分析了有关矩阵分解的若干问题；本文利用矩阵的等价标准形讨论了矩阵方程，对系数矩阵为n m ⨯矩阵的线性方程组，给出了类似于系数矩阵为可逆方阵的线性方程组的理论；本文讨论了有关矩阵秩的若干问题；从等价标准形的角度给出了齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法.关键词 矩阵的秩 等价标准形 矩阵方程 线性方程组1、矩阵等价标准形的概念定义1、设A 、B ∈s n F ⨯，如果A 经过有限次初等变换可以变成B ，则称A 与B 是等价的.显然，矩阵的等价关系是s n F ⨯上的一个二元关系,可以证明，这种关系具有反身性，对称性，传递性。

因此,由矩阵的等价类组成的集合是s n F ⨯的一个分类.由于矩阵的初等变换可以利用初等矩阵及矩阵的乘法来实现，且一个矩阵可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积，因此有：定理1、A 、B ∈ s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ=B.证明:见北大版《高等代数》。

P190定理6和推论1.在每一个等价类中，我们希望选取一个代表，它不但具有这一类中矩阵的一些特征，且其形式是最简单的，那么这个形式简单的代表就有了较高的应用价值，我们把它叫做矩阵的等价标准形。

定理2、设A ∈s n F ⨯,且r(A)=r ，则A 与000r s n I ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价，000rs nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的等价标准形，如果r(A ）=0,则A 的等价标准形是零矩阵。

定理3、设A ，B ∈s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是r(A)=r （B ）.这个定理说明了，同一等价类中的矩阵，由于它们彼此等价，故有相同的秩，反过来，s n F ⨯中秩相同的矩阵必在同一等价类中因此得到：推论1、集合s n F ⨯中，秩为r 的所有矩阵恰好组成一个等价类，其中0≤r ≤min{s ，n ｝;从而s n F ⨯一共有min{s ，n ｝+1个等价类.推论2、设A ∈s n F ⨯，且r （A)=r （≠0），则存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使得A=P 000r s nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦Q.2、矩阵等价标准形的应用由于在数域F 上的 s ⨯n 矩阵集合s n F ⨯中，同一等价类的矩阵有相同的秩,且具有相同秩的矩阵在同一等价类中，因此矩阵的秩是集合 s n F ⨯在等价关系下的完全不变量，从而在研究有关矩阵的一些问题时,我们就可以先求出矩阵A 的等价标准形D ，由于矩阵D 的形式比较简单,它的性质容易研究，由此可以了解矩阵A 的性质。

矩阵的等价标准形

矩阵的等价标准形

矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。

在本文中，我们将深入探讨矩阵的等价标准形，包括其定义、性质和应用。

首先，让我们来了解一下矩阵的等价关系。

对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ，那么我们称矩阵A和B是等价的。

等价的概念可以帮助我们将一个复杂的矩阵化简为更简单的形式，从而更方便地进行分析和运算。

接下来，我们来讨论矩阵的等价标准形。

对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个对角矩阵，那么我们称A相似于对角矩阵，这个对角矩阵就是矩阵A的等价标准形。

等价标准形的存在可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和特点，从而简化计算和分析过程。

矩阵的等价标准形具有以下几个重要性质。

首先，等价标准形是唯一的，即对于一个矩阵A，它的等价标准形是唯一确定的。

其次，等价标准形具有不变性，即对于一个矩阵A，无论进行何种相似变换，其等价标准形都保持不变。

最后，等价标准形可以帮助我们更好地理解矩阵的特征和结构，从而简化计算和分析过程。

矩阵的等价标准形在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在线性代数、矩阵论、控制理论等领域，等价标准形可以帮助我们更好地理解和分析问题，从而为实际问题的求解提供便利。

另外，在工程和科学研究中，等价标准形也常常被用来简化问题和优化计算过程。

总之，矩阵的等价标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。

通过对等价标准形的深入研究，我们可以更好地掌握矩阵的基本性质和运算规律，从而为实际问题的求解提供便利。

希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。

标准形矩阵与单位矩阵

标准形矩阵与单位矩阵

标准形矩阵与单位矩阵标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。

在介绍标准形矩阵之前，我们先来了解一下单位矩阵的概念。

单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其它位置上的元素全为0。

单位矩阵通常用符号I来表示，它满足矩阵乘法的单位元的性质，即对于任意的矩阵A，有AI=IA=A。

单位矩阵在矩阵运算中起着重要的作用，类似于数学中的1，在矩阵乘法中起到“乘法中的1”的作用。

接下来，我们来介绍标准形矩阵。

标准形矩阵是指一个矩阵经过一系列的行变换或列变换后，可以化为某种特殊的形式。

在线性代数中，我们常见的标准形矩阵有行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和对角形矩阵等。

首先，我们来介绍行阶梯形矩阵。

行阶梯形矩阵是指矩阵中的非零行在全零行的下方，且每一非零行的首个非零元素在上一行首个非零元素的右方。

例如，一个3×3的行阶梯形矩阵可以写成如下形式：```。

1 2 3。

0 4 5。

0 0 6。

```。

其次，我们介绍行最简形矩阵。

行最简形矩阵是指在行阶梯形矩阵的基础上，每个首个非零元素都为1，并且该元素所在列的其它元素都为0。

例如，一个3×3的行最简形矩阵可以写成如下形式：```。

1 0 0。

0 1 0。

0 0 1。

```。

最后，我们介绍对角形矩阵。

对角形矩阵是指除了主对角线上的元素外，其它位置上的元素都为0的矩阵。

例如，一个3×3的对角形矩阵可以写成如下形式：```。

1 0 0。

0 2 0。

0 0 3。

```。

通过对矩阵进行行变换或列变换，我们可以将一个矩阵化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵或对角形矩阵。

这些特殊形式的矩阵在矩阵运算和矩阵分解中有着重要的应用，能够简化计算和分析过程，提高计算效率。

总之，标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它包括了行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和对角形矩阵等特殊形式。

通过对矩阵进行一系列的行变换或列变换，我们可以将一个矩阵化为这些特殊形式，从而简化矩阵的计算和分析过程，提高计算效率。